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Grundaufgaben
Immer dann, wenn es um Funktionen geht, wird man, bei gegebener Funktionsgleichung, auf fünf Grundaufgaben stoßen:
- Wertetabelle anlegen
- y-Koordinate zu einem beliebigen x-Wert berechnen
- Graph zeichnen
- Nullstellen berechnen
- x-Koordinate(n) zu einem beliebigen Funktionswert berechnen
- Überprüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt
- Schnittpunkt mit einem anderen Graphen berechnen
Wertetabelle anlegen
In einer Wertetabelle werden die Koordinaten von Punkten erfasst, die auf dem Graphen der gegebenen Funktionsgleichung liegen.
Die x-Koordinaten sind für die Wertetabelle frei wählbar (Empfehlung, wenn nichts vorgegeben wurde : -5, -4, … , 4, 5).
Der gewählte (oder, bei der Bestimmung der y-Koordinate zu einem beliebigen x-Wert vorgegebene) Wert für die x-Koordinate wird dann für x in die Funktionsgleichung eingesetzt und damit der zugehörige Funktionswert berechnet.
Beispiel: f(x) = 2x + 5 (also eine Gerade). Wähle x = -5: f(-5) = 5. Wähle x = 3: f(3) = 11.
Graph zeichnen
Die Wertepaare der Wertetabelle werden als Punkte in ein Koordinatensystem eingetragen und mit einer frei gezeichneten Linie verbunden (nur bei Geraden darf und sollte das Lineal verwendet werden).
Nullstellen berechnen
Um die Nullstellen zu berechnen, also die Punkte des Graphen, die auf der x-Achse liegen, wird die Gleichung f(x) = 0 gelöst.
Beispiel: f(x) = 2x + 5
0 = 2x + 5 -5 = 2x
x = -2/5 = -0,4
Die Nullstelle der Gerade hat also die Koordinaten N(-0,4|0).
Bei quadratischen Funktionen muss man für die Rechnung dann mit der pq-Formel (oder einer vergleichbaren Lösungsmethode) arbeiten, in dem Fall können sich eine, zwei oder keine Lösung ergeben.
Sucht man die x-Koordinate(n) zu einem vorgegebenen Funktionswert y, so muss man die Gleichung f(x) = y lösen.
Beispiel: f(x) = 2x+5, y = 7
7 = 2x + 5 2 = 2x
x = 1
Bei quadratischen Funktionen überführt man den Ausdruck f(x) = y zunächst in die Normalform einer quadratischen Gleichung (hier also: f(x) - y = 0) und löst dann wieder mit der pq-Formel. Wie bei den Nullstellen können dann wieder eine, zwei oder keine Lösung herauskommen.
Überprüfen, ob ein Punkt auf dem Graphen liegt
Bei dieser Art der Aufgabe sind die Koordinaten eines Punktes gegeben. Zur Überprüfung hat man zwei Möglichkeiten:
- Man setzt die gegebenen Koordinaten für x und y ein und formt die entstandene Gleichung so lange um, bis man mit Sicherheit sagen kann, ob man eine wahre oder eine falsche Aussage hat. Ist die Aussage wahr, liegt der gegebene Punkt auf dem Graphen, sonst nicht.
- Man setzt die gegebene x-Koordinate in die Funktionsgleichung ein und berechnet den zugehörigen Funktionswert. Ist der berechnete Wert mit der gegebenen y-Koordinate identisch, liegt der Punkt auf dem Graphen, sonst nicht.
Schnittpunkt(e) mit einem anderen Graphen berechnen
Der Schnittpunkt S(xS|yS) von zwei Graphen ist ein Punkt, der auf beiden Graphen liegt.
Für die Funktionen f und g gilt dann also f(xS) = yS und g(xS) = yS.
Man berechnet die Schnittpunktskoordinaten, indem man die Funktionsterme gleichsetzt, also die Gleichung f(xS) = g(xS) löst.
Die durch das Lösen bestimmte x-Koordinate xS des Schnittpunkts wird dann in eine der Funktionsgleichungen eingesetzt, um den Wert der y-Koordinate yS zu berechnen (es ist egal, welcher Term dafür verwendet wird - das Ergebnis muss in beiden Fällen identisch sein - die zweite Gleichung kann man also zum Überprüfen verwenden).
Beispiel: ,
Lösen: , angenähert:
y-Koordinaten berechnen: ,
Schnittpunkte angeben: S1(-1,83|1,34), S2(3,83|12,66)
