Wahrscheinlichkeit und relative Häufigkeit

Die Wahrscheinlichkeitsrechnung bildet zusammen mit der Statistik das mathematische Gebiet der Stochastik. Ging es in der Statistik darum, erhobene Daten auszuwerten und daraus Aussagen abzuleiten (Bsp. Regressionsgerade), so geht es bei der Wahrscheinlichkeitsrechnung darum, den Ausgang eines zufälligen Ereignisse auf der Grundlage von theoretischen Überlegungen vorherzusagen.

Dieses Gesetz ist ein Gesetz, dass aus der Beobachtung, also dem Sammeln vieler Daten aus der Durchführung vieler Zufallsversuche abgeleitet wurde.

Nach häufiger Wiederholung eines Zufallsversuchs liegen die relativen Häufigkeiten in der Nähe der Wahrscheinlichkeit des Ergebnisses.

Das heißt ganz praktisch, dass die Vorhersage umso sicherer wird, je mehr Daten man als Grundlage hat. Umgekehrt kann ma mit jeder Münze und jedem Würfel testen, wie häufig wiederholt werden muss, um auf eine ausreichende Sicherheit zu kommen - hier müssen die verschiedenen Ergebnisse immer gleich wahrscheinlich sein.

Empirisch, Modell, Ereignis, Zufallsversuch, Urliste, Laplace-Versuch, Ergebnis, Ergebnismenge, Wahrscheinlichkeit, relative Häufigkeit (absolute Häufigkeit, Gesamtheit), kumuliert

Laplace-Regel, Summenregel

Tetraeder, Hexaeder, Oktaeder, Dodekaeder, Ikosaeder (Platonische Körper)

Bei einem Laplace-Versuch hat jedes Ergebnis des Zufallsversuchs die gleiche Wahrscheinlichkeit.¹⁾ Das Werfen einer Münze oder eines Würfels sind Beispiele für Laplace-Versuche: jede Seite der Münze liegt mit der Wahrscheinlichkeit $\frac12$ oben, beim Würfeln hat jedes Ergebnis die Wahrscheinlichkeit $\frac16$.

Grundsätzlich muss man beim Laplace-Versuch also zunächst feststellen, wie viele Ergebnisse der Zufallsversuch haben kann - gesucht ist also die Mächtigkeit der Ergebnismenge S.²⁾ Bei der Münze wäre das 2 (S = {K, Z}, |S| = 2), beim Würfel 6 (S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, |S| = 6).

Die Wahrscheinlichkeit p³⁾ eines einzelnen Ergebnisses berechnet man dann nach Laplace mit

\[p = \frac{1}{\mbox{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} = \frac1{|S|}\]

Meistens benötigt man jedoch nicht die Wahrscheinlichkeit eines einzelnen Ergebnisses, sondern die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses, das sich aus verschiedenen Ergebnissen zusammensetzt, z.B. die Wahrscheinlichkeit, dass gerade Zahlen gewürfelt werden. Zu diesem Ereignis gehören die Ergebnisse 2, 4, 6, die Ereignismenge E ist dann also $E = \{2, 4, 6\}$.

Die Wahrscheinlichkeit für jedes einzelne Ergebnis ist $\frac16$, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis ist dann die Summe der Ergebniswahrscheinlichkeiten, also $\frac16 + \frac16 + \frac16 = \frac36 = \frac12$.⁴⁾

$P(E) ~=~ p_1 + p_2 + p_3 + \ldots + p_m$ mit $p_1,~ p_2$ … Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse $e_1, ~e_2$ …

Kombiniert man nun die Wahrscheinlichkeit für das einzelne Ergebnis eines Laplace-Versuchs mit der Summenregel, so erhält man die Laplace-Regel.

\[P(E) = \frac{\mbox{Anzahl der zu E gehörenden Ergebnisse}}{\mbox{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} = \frac{|E|}{|S|}\]