Differenzenquotient / Änderungsrate

Um Zwischenwerte zu vorgegebenen Intervallgrenzen zu berechnen, wird aus den Intervallgrenzen und den zugehörigen Funktionswerten zunächst der Differenzenquotient aufgestellt:

Intervall: I [a, b]

Differenzenquotient (Steigung der Näherungsgerade):

Näherungsgerade in Punkt-Steigungs-Form: oder

Für die Geradengleichung g(x) = y muss dann die Punkt-Steigungsform noch nach y aufgelöst werden.

Differenzenquotient in zwei Varianten

Momentane Änderungsraten lassen sich bestimmen, in dem man sich dem gesuchten Punkt von oben und unten annähert - oder man vereinfacht den Term des Differenzenquotienten so, dass beim Streben von x gegen x₀ kein unerlaubter Ausdruck mehr entsteht, und rechnet damit den Wert der momentanen Änderung an der gegebenen Stelle x₀ aus.

Mit gilt auch ${f(x) - f(x_0)}/{x - x_0} ~=~ {f(x_0 + h) - f(x_0)}/h$

Der zweite Term des Differenzenquotienten mit lässt sich häufig leichter vereinfachen, wählt man die erste Form, muss meistens im Lauf der Vereinfachung die dritte binomische Formel angewendet werden.

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