Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung
Eine Zufallsgröße ist ein quantitatives Merkmal, das ein Ereignis eines Zufallsexperiments beschreibt. Üblicherweise wird die Zufallsgröße mit X angegeben, die Zufallsgröße eines bestimmten Ereignisses hat dann den Wert X=a, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses wird dann mit $P(X=a)$ angegeben.
Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung ist nichts anderes als eine Tabelle, in der die Werte der Zufallsgrößen den Werten der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zufallsgrößen zugeordnet werden, der Kopf der Tabelle sähe dann so aus:
| X=a | P(X=a) |
|---|---|
| $\vdots$ | $\vdots$ |
Die Wahrscheinlichkeiten können in der Verteilung auch kumuliert angegeben werden, dann werden alle Werte bis zum angegebenen Wert addiert, also $P(X \le a)$. Die Zufallsgröße des Ereignisses hat also höchstens den Wert X=a.
Eine Verteilung kann anschaulich als Histogramm dargestellt werden, also als Säulendiagramm, bei dem X=a die Kategorien angibt (die in der Mitte der Säulen stehen) und die Höhe der Säulen durch P(X=a) bestimmt wird (oder relative oder absolute Häufigkeiten).
Beispiel
Zufallsexperiment: Würfeln mit zwei Würfeln
Ereignis: Maximum der Augenzahlen
Mögliche Werte der Zufallsgröße X: 1, 2, 3, 4, 5, 6
Zu den Zufallsgrößen gehörende Ergebnismengen:1)
| X=a | Ergebnismenge |
|---|---|
| X=1 | {(1,1)} |
| X=2 | {(1,2), (2,1), (2,2)} |
| X=3 | {(1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3)} |
| X=4 | {(1,4), (4,1), (2,4), (4,2), (3,4), (4,3), (4,4)} |
| X=5 | {(1,5), (5,1), (2,5), (5,2), (3,5), (5,3), (4,5), (5,4), (5,5)} |
| X=6 | {(1,6), (6,1), (2,6), (6,2), (3,6), (6,3), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)} |
Wahrscheinlichkeitsverteilung (die Tabelle kann natürlich auch senkrecht angeordnet werden):
| X=a | X=1 | X=2 | X=3 | X=4 | X=5 | X=6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X=a)$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{3}{36}$ | $\frac{5}{36}$ | $\frac{7}{36}$ | $\frac{9}{36}$ | $\frac{11}{36}$ |
Die Summe der in der Verteilung angegebenen Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben - wenn nicht, hat man irgendetwas übersehen.
Kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung:
| X=a | X=1 | X=2 | X=3 | X=4 | X=5 | X=6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $P(X \le a)$ | $\frac{1}{36}$ | $\frac{4}{36}$ | $\frac{9}{36}$ | $\frac{16}{36}$ | $\frac{25}{36}$ | $\frac{36}{36} = 1$ |
Hier muss im letzten Feld die Wahrscheinlichkeit 1 sein, da zum Ereignis $X \le 6$ alle Ergebnisse des Zufallsversuch gehören.
Histogramm (für P(X=a)):
| _
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| | | | |
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1/36 _| _| | | | | |
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1 2 3 4 5 6
Mit Excel bearbeite sähen die Wahrscheinlichkeitsverteilung und das Histogramm (Säulendiagramm) so aus:
