Zählstrategien (Kombinatorik)
Zählstrategien werden dann hilfreich, wenn ein Zufallsexperiment mehr Ergebnisse hat als man auf den ersten Blick abzählen kann. Gerade bei Laplace-Experimenten kann man mit diesen Strategien die Anzahl aller Ergebnisse und die Anzahl der günstigen Ergebnisse vergleichsweise einfach bestimmen.
Grundsätzlich sind beim Zählen zwei Fragen zu beantworten: Muss die Reihenfolge beachtet werden? Können Ergebnisse mehrmals auftreten?
Die Formeln der Zählstrategien kann man sich gut mit Hilfe eines Baumdiagramms veranschaulichen.
Allgemeines Zählprinzip
Um die Anzahl der Pfade eines Baumes zu berechnen multipliziert man die Anzahl der Verzweigungen auf jeder Stufe.
Hat man z.B. einen Baum mit n Verzweigungen auf jeder Stufe und k Stufen, dann ist die Gesamtzahl aller möglichen Ergebnisse . Bei 6 Verzweigungen auf jeder Stufe und 5 Stufen wären das also 7776 Pfade.
Ziehen mit Wiederholung
z.B. Würfeln oder Ziehen mit Zurücklegen (n unterscheidbare Kugeln), unter Beachtung der Reihenfolge. Es handelt sich hier um Variationen, bei denen die einzelnen Elemente beliebig oft vorkommen können.
Der Baum hat auf jeder Stufe gleich viele Verzweigungen und jedes Ergebnis hat die gleiche Wahrscheinlichkeit. Jedes einzelne Ereignis (= jeder Pfad) hat dann die Wahrscheinlichkeit ,
mit n=6 und k=5 also 1/7776.
Ziehen ohne Wiederholung
z.B. Ziehen ohne Zurücklegen (n unterscheidbare Kugeln), unter Beachtung der Reihenfolge
Der Baum hat auf jeder Stufe gleich viele Verzweigungen, die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse sind auf der Stufe gleich, ändern sich aber mit jeder Stufe.
Die Anzahl der Pfade ist dann , weil auf jeder Stufe eine Kugel weniger in der Urne ist - damit ist auch klar, dass k nicht größer als n sein kann.
Ist k = n so nennt man die möglichen Anordnungen Permutationen, ist k < n Variationen.1)
Diesen Ausdruck kann man mit Hilfe der Fakultät (Zeichen: !) einfacher notieren:
= n [nPr] k (Taschenrechner),
mit n=6 und k=5 also 6*5*4*3*2 = [6 nPr 5] = 720.
Die Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Pfades ist dann wieder der Kehrwert der Anzahl, also (n-k)!/n! = 1/(n [nPr] k), im Beispiel also 1/720.
Ziehen mit einem Griff
Ziehen mit einem Griff ist wieder Ziehen ohne Zurücklegen, diesmal aber ohne Beachtung der Reihenfolge. Ein Beispiel dafür wäre die Lottoziehung, bei der am Ende die Zahlen der Größe nach sortiert werden. Die möglichen Anordnungen nennt man hier Kombinationen.
Die Anzahl der möglichen Pfade ist wie beim Ziehen mit Wiederholung n!/(n-k)!, die Anzahl der unterscheidbaren Ereignisse ist aber geringer, da die erste Kugel auf jedem der k Plätze des Pfades auftauchen kann, die zweite noch auf k-1 Plätzen usw. - jeder Ereignis kommt also mal vor.
Für die Ereignisanzahl muss man nun also noch die Ergebnisanzahl durch die Häufigkeit der Ereignisse teilen, also . Diesen Ausdruck nennt man auch den Binomialkoeffizienten, der Taschenrechner hat dafür die Taste [nCr].
