Spurpunkte und die Lage von Geraden zueinander

Die Richtung einer Gerade wird durch den Richtungsvektor bestimmt (dem Vektor mit dem Parameter), ihrer Lage im Raum wird durch den Stützvektor festgelegt (dem Vektor, der nicht mit einem Parameter multipliziert wird).

Um die Lage im Raum genauer zu beschreiben, kann man die Spurpunkte der Gerade bestimmen, also die Punkte, in denen die Gerade die Ebenen des Koordinatensystems schneidet.

Alle Punkte der xy-Ebene haben als z-Koordinate 0, (x|y|0), alle Punkte der xz-Ebene haben als y-Koordinate 0, (x|0|z), und alle Punkte der yz-Ebene haben als x-Koordinate 0, (0|y|z).

Durch Gleichsetzen dieses allgemeinen Punktes mit der Geradengleichung kann man dann die fehlenden Koordinatenwerte bestimmen - die Zeile, in der die 0 steht, legt den Wert des Parameters fest.

Beispiel:

Gesucht sind die Spurpunkte, also die Punkte mit einer Koordinate 0.

Der erste Spurpunkt der Gerade g hat demnach die Koordinaten (-2|0,5|0). Die anderen Spurpunkte berechnet man genau so - jede Gerade kann natürlich nur zwei Spurpunkte haben - diese könnten aber auch auf den Achsen liegen, dann wären zwei Koordinaten 0.

Zwei Geraden können entweder identisch oder parallel sein oder sich schneiden (wie in der Ebene auch). Im Raum können die Geraden aber auch so liegen, dass sie nicht parallel sind und sich auch nicht schneiden - diese Lage nennt man windschief.

Um die Lage von zwei Geraden zueinander zu untersuchen, muss man zum einen feststellen ob es gemeinsame Punkte gibt, zum anderen, ob die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, d.h. man kann einen Faktor finden, mit dem man aus dem einen Richtungsvektor den anderen durch skalare Multiplikation erhalten kann (die Gleichung hat also eine Lösung), so beschreiben die Richtungsvektoren dieselbe Richtung. Die beiden Geraden sind also parallel, wenn kein gemeinsamer Punkt existiert, oder identisch (dann sind alle Punkte der einen Gerade auch Punkte der anderen Gerade).

Kann man keinen entsprechenden Faktor finden, so sind die Geraden windschief, wenn kein gemeinsamer Punkt existiert, oder haben einen Schnittpunkt.

Die Geraden seien g(s) und h(t), mit s, t Parameter der Geradengleichung. Hat die Gleichung genau eine Lösung für die Parameter s und t, so haben die Geraden einen Schnittpunkt mit den Koordinaten g(s) bzw. h(t). Bleibt die Lösungsmenge leer (in Derive: []), so haben die Geraden keinen gemeinsamen Punkt - sie können dann parallel oder windschief liegen. Erhält man als Lösung eine Gleichung, in der s und t voneinander abhängen, so sind die Geraden identisch.

Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, d.h. man kann einen Faktor finden, mit dem man aus dem einen Richtungsvektor den anderen durch skalare Multiplikation erhalten kann (die Gleichung hat also eine Lösung), so beschreiben die Richtungsvektoren dieselbe Richtung. Die beiden Geraden sind also parallel, wenn kein gemeinsamer Punkt existiert, oder identisch (dann sind alle Punkte der einen Gerade auch Punkte der anderen Gerade).

Kann man keinen entsprechenden Faktor finden, so sind die Geraden windschief, wenn kein gemeinsamer Punkt existiert, oder haben einen Schnittpunkt.

• 
  1. keine Lösung
     • 
       1. eindeutige Lösung, s = …, t = … Schnittpunkt bei g(s) bzw. h(t)
       2. keine Lösung windschief
  2. Faktor k für Vielfaches bestimmbar
     • 
       1. keine Lösung parallel
       2. Lösung nur in der Form s = f(t) oder t = f(s) identisch

Gegeben sind die folgenden Geraden. Bestimme ihre Lage zueinander.

\[g: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -9\\ -1\\ -11\end{array} \right) + s \left(\begin{array}{c} -11\\ 1\\ 4\end{array} \right) \quad \mbox{und} \quad h: \vec{x} = \left(\begin{array}{c} -1\\ 3\\ 2\end{array} \right) + t \left(\begin{array}{c} -3\\ -9\\ 9\end{array} \right)\]

Richtungsvektoren definieren:

#1   r1 := [-11, 1, 4]
#2   r2 := [-3, -9, 9]

Geradengleichungen definieren:

#3   g(s) := [-9, -1, -11] + s*r1
#4   h(t) := [-1, 3, 2] + t*r2

Richtungsvektoren überprüfen

#5   SOLVE(r1 = k*r2, k, Real)
#6                               []

Die Geraden können also nur windschief sein oder einen Schnittpunkt haben.

Auf Schnittpunkt überprüfen:

#7   SOLVE(g(s) = h(t), [s, t], Real)
#8                               []

Die Geraden haben keinen Schnittpunkt, liegen also windschief.

Wählt man jetzt als neuen Richtungsvektor $\vec{r_3} = \left( \begin{array}{c} 1\\ 3\\ -3 \end{array} \right)$ und bildet mit dem Stützvektor von g eine neue Gerade,
so liegt diese parallel zur Gerade h.

#9   r3 := [1, 3, -3]
#10  g2(s) := [-9, -1, -11] + s*r3
#11  SOLVE(r2 = k*r3, k, Real)
#12                              [k = -3]
#13  SOLVE(g2(s) = h(t), [s, t], Real)
#14                              []

Nimmt man dagegen als neuen Stützvektor für h den Vektor $\left( \begin{array}{c} 7\\ -21\\ -1 \end{array} \right)$, so haben g und h2 einen Schnittpunkt mit den Koordinaten (13|-3|-19).

#15  h2(t) := [7, -21, -1] + t*r2
#16  SOLVE(g(s) = h2(t), [s, t], Real)
#17                              [s = -2 und t = -2]
#18                              g(-2) = [13, -3, -19]

Nimmt man als neuen Stützvektor für h den Ortsvektor eines Punktes der Gerade g2, z.B. $\left( \begin{array}{c} -8\\ 2\\ -14 \end{array} \right)$,
so sind die Geraden h3 und g2 identisch.

#19  h3(t) := [-8, 2, -14] + t*r2
#20  SOLVE(g2(s) = h3(t), [s, t], Real)
#21                              [3t + s = 1]

Die Rechnung hier nochmal als pdf-Ausdruck der entsprechenden Derive-Datei, mit eingebundenen 3D-Grafiken der Geraden.