Drei Punkte bestimmen eine Parabel

Die allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet , mit .

Die Variablen x und y stehen dabei für die Koordinaten der Punkte des Graphen, a, b und c sind die Funktionsparameter.

Da drei Parameter zu bestimmen sind, werden drei Informationen benötigt. In der Regel sind das die Koordinaten von drei Punkten, die auf der Parabel liegen sollen.

Diese Koordinaten setzt man in die allgemeine Funktionsgleichung ein und erhält damit drei Gleichungen mit noch drei Unbekannten, nämlich den Parametern a, b und c.

Der Gauß-Algorithmus liefert ein Verfahren, mit dem der Wert dieser drei Parameter mit Hilfe der drei Gleichungen bestimmt werden kann. Dieser Algorithmus ist nichts anderes als das Additions- (bzw. Subtraktions-)verfahren, nur systematisiert und auf Fälle übertragen, bei denen mehr als zwei Gleichungen existieren.

Für den Fall, dass einer der gegebenen Punkte auf der y-Achse liegt, also die x-Koordinate den Wert Null hat, reduziert sich das Problem auf zwei Gleichungen, da der Wert von c direkt bestimmt wird und damit bekannt ist. In diesen Fällen führt das Einsetzungsverfahren in der Regel schneller zum Ziel.

Sonderfall: ein Punkt mit x = 0 gegeben

Aus P(0|w) folgt f(0) = w, also 0a + 0b +c = w, also c = w.

Dieser Wert wird dann in die anderen beiden Gleichungen eingesetzt und das entstehende Gleichungssystem gelöst.

Beispiel: (S. 26, 3b) P(-2|3), Q(0|0), R(1|1)

P: 4a - 2b + c = 3

Q: 0a + 0b + c = 0

R: 1a + 1b + c = 1

Setzt man c = 0 in die Gleichungen P und R ein, erhält man das vereinfachte System:

P': 4a - 2b = 3

R': a + b = 1

Für das Einsetzungsverfahren formt man eine der Gleichungen so um , dass links nur noch eine Variable steht, rechts Zahlen und die andere Variable. In diesem Beispiel bietet sich die Umformung von R' an. Der erhaltene Term für b wird dann in P' eingesetzt (man könnte genauso gut mit a = 1- b arbeiten).

P'': 4a - 2(1-a) = 3 4a - 2 + 2a = 3 6a = 5 a = 5/6

Aus b = 1-a ergibt sich sofort b = 1/6

Die gesuchte Funktionsgleichung zu den Punkten P, Q und R lautet also

Gauß-Algorithmus

In allen Fällen, in denen keiner der gegebenen Punkte auf der y-Achse liegt, führt der Gauß-Algorithmus systematisch zum Ziel.

Das Gleichungssystem wird dabei mit Hilfe des Additionsverfahrens so umgeformt, dass eine Dreiecksform entsteht: Die erste Gleichung enthält alle drei Variablen, die zweite nur noch zwei und die dritte nur noch eine. Mit der dritten Gleichung kann dann der Wert dieser einen Variablen bestimmt werden, der wird in die zweite Gleichung eingesetzt, wodurch der Wert der zweiten Variablen bestimmt werden kann. Durch Einsetzen beider Werte in die erste Gleichung erhält man dann den Wert der dritten Variablen.

Um die Dreiecksform zu erhalten, dürfen Gleichungen mit beliebigen Zahlen ungleich Null multipliziert werden. Ziel dabei ist es immer, für die zu eliminierende Variable in zwei Gleichungen identische Terme zu erhalten, damit bei der anschließenden Subtraktion der Term dann wegfällt.

Beispiel: (S. 26, 3c) P(-2|0), Q(1|4), R(3|0) und , a, b, c sind gesucht

Gleichungssystem:

P: 4a - 2b + c = 0

Q: a + b + c = 4