Keplersche Gesetze

  1. Die Planeten bewegen sich auf Bahnen um die Sonne, die die Form einer Ellipse haben und in deren einem Brennpunkt die Sonne steht.
    Diese Bahnellipsen unterscheiden sich jedoch nur wenig von einer Kreisbahn.
  2. Die Verbindungslinie Sonne-Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
    Das bedeutet, dass sich die Planeten in der Nähe der Sonne schneller auf ihrer Bahn bewegen als dort, wo sie weiter von der Sonne entfernt sind. Die „Bahngeschwindigkeit“ eines Planeten ist also nur eine Durchschnittsgeschwindigkeit.
  3. {{T_1}^2}/{{T_2}^2}~=~{{a_1}^3}/{{a_2}^3} mit T Umlaufzeit und a große Halbachse.
    Das bedeutet, dass ein Planet sich umso langsamer (im Durchschnitt) auf seiner Bahn bewegt je weiter er von der Sonne entfernt ist.

Das dritte Gesetz noch mal ausführlicher erklärt

Kepler hat nach den ersten beiden Gesetzen noch 10 Jahre gebraucht, um das dritte zu formulieren. Ich vermute mal, dass er dafür eine ganze Menge an Rechnungen ausprobiert hat, bis die Formeln des dritten Gesetzes zu den Beobachtungsdaten passten.

Nach Buch lautet das dritte Gesetz

{{T_1}^2}/{{T_2}^2}~=~{{a_1}^3}/{{a_2}^3}

Diese Formel kann man umstellen, indem auf beiden Seiten durch T12 geteilt wird und dann beide Seiten mit a23 multipliziert werden und die enstehenden Terme gekürzt werden:

doubleleftright ~~~ {{T_1}^2~ * ~{a_2}^3}/{{T_2}^2 ~ * ~{T_1}^2}~=~{{a_1}^3~ * ~{a_2}^3}/{{a_2}^3~ * ~{T_1}^2}

doubleleftright ~~~ {{a_2}^3}/{{T_2}^2 }~=~{{a_1}^3}/{{T_1}^2}

Und diese letzte Gleichung sagt, dass diese Verhältnisse für alle Planeten gleich sind - genauso, wie bei einem bestimmten Stoff das Verhältnis von Masse und Volumen immer gleich ist (nämlich die Dichte).

Wenn man jetzt in Gedanken die große Halbachse a vergrößert, dann vergrößert sich der Zähler des Bruches durch das „hoch 3“ sehr schnell. Damit das Verhältnis gleich bleibt, muss nun auch der Nenner entsprechend vergrößert werden. Vergrößert man also die Umlaufzeit, so vergrößert sich der Nenner zwar auch, aber nicht ganz so stark wie der Zähler, weil im Nenner nur „hoch 2“ steht. Also muss sich, wenn z.B. die Halbachse verdoppelt wird, die Umlaufzeit mehr als verdoppeln. Und das bedeutet, dass die Planeten im Verhältnis immer mehr Zeit für eine Umrundung ihrer Bahn benötigen, je weiter außen sie sich im Sonnensystem befinden. Also nimmt auch die mittlere Bahngeschwindigkeit der Planeten von innen nach außen ab.

schule/mint/astro/kepler.txt · Zuletzt geändert: 2018/05/29 20:13 von ahrens
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