Einführung in die Stochastik

_{Jg. 12 Mathematik, Schuljahr 2005/2006}

Stochastik in der Jahrgangstufe 12 bedeutet, zunächst einmal die eigentlich aus der Mittelstufe bekannten Begriffe zu wiederholen, bevor der Bereich der Wahrscheinlichkeitsrechnung weiter ausgebaut wird.

Eine zentrale Position nimmt der Zufallsversuch ein, dessen Ausgang man einschätzen möchte.

Die Wahrscheinlichkeit der Ergebnisse eines Zufallsversuch lässt sich empirisch durch eine genügend häufige Wiederholung des Zufallsversuchs abschätzen (Gesetz der großen Zahl): Führt man einen Zufallsversuch nur häufig genug durch (d.h. auf jeden Fall tausende Wiederholungen), so nähern sich die bestimmten relativen Häufigkeiten der empirischen Wahrscheinlichkeit für das jeweilige Ergebnis an.

Dieser Zufallsversuch hat zwei Ergebnisse: Die Reißzwecke kann auf dem „Rücken“ oder auf der „Seite“ landen. Je nach Hersteller und Bauart erhält man hier unterschiedliche Ergebnisse - in der Regel tritt die Rückenlage jedoch häufiger auf.

Man führt also Strichlisten über die Ergebnisse der Zufallsversuche und erhält damit die absoluten Häufigkeiten der Ergebnisse. Dividiert man diese durch die Anzahl der Wiederholungen (also die Summe der absoluten Häufigkeiten) so erhält man die relativen Häufigkeiten als Zahlen zwischen 0 und 1 die man dann gerundet als Wert für die empirische Wahrscheinlichkeit annehmen kann.

Bequemer wäre es natürlich, wenn man die Wahrscheinlichkeiten nicht empirisch bestimmen müsste, sondern theoretisch ermitteln könnte. Voraussetzung dafür ist jedoch, dass das Zufallsexperiment durch ein mathematisches Modell beschrieben werden kann.

Recht einfach lassen sich die theoretischen Wahrscheinlichkeiten bei Zufallsexperimenten bestimmen, deren Ergebnisse alle gleichwahrscheinlich sind. Solche Experimente werden LAPLACE-Experimente genannt. Hier kann man nun die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses des Zufallsexperiments dadurch bestimmen, dass man den Kehrwert der Zahl aller möglichen Ergebnisse bildet.

Ein normaler Würfel mit sechs Seiten muss (so er nicht gezinkt ist) mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf einer der sechs Seiten zu liegen kommen. Damit ist das Werfen eines Würfels ein Laplace-Experiment mit den Ergebnissen (der Ergebnismenge) {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Die Anzahl der Ergebnisse (die Mächtigkeit der Ergebnismenge) beträgt 6, also ist die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten eines der Ergebnisse .

Würde man nun darauf wetten wollen, dass eine gerade Zahl gewürfelt wird, so hätte man seine Gewinnchancen im Vergleich zur Wette auf ein einzelnes Ergebnis erhöht, da man beim Ereignis „eine gerade Zahl wird gewürfelt“ gleich bei drei Ergebnissen gewinnt: bei 2, 4 und 6. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ereignis beträgt dann also .

Hier kommt die Summenregel in's Spiel: Besteht ein Ereignis nicht nur aus einem Ergebnis, so ist die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses die Summe der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse.

Zufallsversuche können auch mit dem Computer simuliert werden: Jede Programmiersprache und auch eigentlich jedes Matheprogramm bietet eine Möglichkeit, Zufallszahlen zu erzeugen (da es sich hier um Algorithmen handelt, müsste man korrekt von Pseudo-Zufallszahlen) sprechen. Diese Zufallszahlen, meistens zu erzeugen durch eine Funktion „random“ oder „rand“ lassen sich dann zur Simulation verwenden.

Zum Würfeln werden 6 Ergebnisse benötigt:

random(6)

liefert zufällig eine der Zahlen 0 bis 5.

wuerfel := random(6) + 1

Mit dieser Zeile kann man dann in Derive einen Würfel definieren, der bei jedem Aufruf eine zufällige Zahl zwischen 1 und 6 erzeugt.

Um eine Liste mit Zufallszahlen zu erzeugen, benötigt man den vector-Befehl:

vector(wuerfel, x, 1, n)

Hier muss für n dann die gewünschte Zahl von Wiederholungen gesetzt werden. Bei jedem Aufruf dieses Befehls wird eine neue Liste erzeugt - will man eine einmal erstellte Liste auswerten, so muss diese einer weiteren Variablen, z.B. liste, zugewiesen werden.

Die Bestimmung der absoluten Häufigkeiten wird in zwei Schritten vollzogen - zuerst wird mit

select

eine Teilliste mit den gewünschten Ergebnissen erstellt, dann mit

dimension

die Anzahl der Ergebnisse in der Teilliste bestimmt - diese Teilschritte können natürlich in einem Aufruf zusammengefasst werden:

dimension(select(x=a, x, liste))=

Hier steht a dann für das gewünschte Ergebnis.

Die Schwierigkeit bei der Bestimmung von theoretischen Wahrscheinlichkeiten liegt nun im allgemeinen darin, die zu einem Ereignis gehörenden Ergebnisse zuzuordnen, zum anderen in der Bestimmung der Gesamtzahl der Ergebnisse. Hier hilft dann die Kombinatorik weiter.