Inhaltsverzeichnis
Abhängigkeit und Unabhängigkeit
Bei diesen Begriffen muss man klar unterscheiden, ob man sich auf die Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen oder auf die Ausprägung der Merkmale von Ergebnissen bezieht. In jedem Fall liegt diesen Überlegungen ein mindestens zweistufiges Experiment zu Grunde.
... von Ergebniswahrscheinlichkeiten
Unabhängige Ergebniswahrscheinlichkeiten erkennt man im Baumdiagramm daran, dass auf jeder Stufe identische Wahrscheinlichkeiten auftauchen.
Beispiele: Münzwurf, Würfeln, Ziehen mit Zurücklegen
Führt man jedoch die Ziehung aus einer Urne ohne Zurücklegen durch, so verändern sich die Ergebniswahrscheinlichkeiten mit jeder Stufe. Hier sind die Wahrscheinlichkeiten also abhängig vom Ergebnis der vorherigen Stufe.
... von Merkmalen
Unabhängige Merkmale erkennt man im Baumdiagramm daran, dass auf der zweiten Stufe identische Wahrscheinlichkeiten auftauchen. In der Vierfeldertafel stehen die Zahlen in den Zeilen bzw. in den Spalten dann jeweils im gleichen Verhältnis.
Bei abhängigen Merkmalen hängt das Ergebnis der ersten Stufe von dem Ergebnis der zweiten ab, es gibt also einen Zusammenhang zwischen den beiden Merkmalen (der aber nicht unbedingt kausal sein muss).
Beispiele
Ziehen aus einer Urne
Urne mit 4 roten und 6 blauen Kugeln
Ziehen mit Zurücklegen
Die Wahrscheinlichkeiten in den Teilbäumen sind auf jeder Stufe gleich. Sie sind also unabhängig. Da die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe identisch sind auch die Merkmale unabhängig.
o und
rot 4/10 / \ blau 6/10 A = P(rot-rot) = 0,16
o o B = P(rot-blau) = 0,24
rot 4/10 / \ / \ blau 6/10 C = P(blau-rot) = 0,24
o o o o D = P(blau-blau)= 0,36
A B C D
Als Vierfeldertafel werden die Daten dann so präsentiert:
Absolute Werte Wahrscheinlichkeiten
| rot | blau | | rot | blau |
------------------------- --------------------------
rot | 16 | 24 | 40 rot | 0,16 | 0,24 | 0,4
------------------------- --------------------------
blau | 24 | 36 | 60 blau | 0,24 | 0,36 | 0,6
------------------------- --------------------------
| 40 | 60 | 100 | 0,4 | 0,6 | 1
Ziehen ohne Zurücklegen
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich von der ersten zur zweiten Stufe. Die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe sind also abhängig vom Ergebnis der ersten Stufe. Da die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe nicht gleich sind (und auch kein festes Zahlenverhältnis in den Spalten bzw. Zeilen der Vierfeldertafel vorhanden ist), besteht also eine Abhängigkeit zwischen den Merkmalsausprägungen der ersten und zweiten Stufe.
o und
rot 4/10 / \ blau 6/10 A = P(rot-rot) = 12/90
o o B = P(rot-blau) = 24/90
rot 3/9 / \ / \ rot 4/9 C = P(blau-rot) = 24/90
blau 6/9 o o o o blau 5/9 D = P(blau-blau)= 30/90
A B C D
Als Vierfeldertafel werden die Daten dann so präsentiert:
Absolute Werte Wahrscheinlichkeiten (gerundet)
| rot | blau | | rot | blau |
------------------------ --------------------------
rot | 12 | 24 | 36 rot | 0,13 | 0,27 | 0,4
------------------------ --------------------------
blau | 24 | 30 | 54 blau | 0,27 | 0,33 | 0,6
------------------------ --------------------------
| 36 | 54 | 90 | 0,4 | 0,6 | 1
Ziehen aus zwei Urnen nacheinander
Urne A: 4 rote, 6 blaue Kugeln, Urne B: 2 weiße, 8 schwarze Kugeln, Urne C: 3 weiße, 7 schwarze Kugeln1)
Die Wahrscheinlichkeiten ändern sich von der ersten zur zweiten Stufe, beziehen sich aber auf unterschiedliche Merkmale und haben daher nichts miteinander zu tun.
ohne Abhängigkeit
Erst wird aus Urne A gezogen, dann aus Urne B. Die Wahrscheinlichkeiten auf der zweiten Stufe sind identisch, so dass hier keine Abhängigkeit ziwschen den Merkmalen besteht.
o und
rot 4/10 / \ blau 6/10 A = P(rot-weiß) = 0,08
o o B = P(rot-schwarz) = 0,32
weiß 2/10 / \ / \ schwarz 8/10 C = P(blau-weiß) = 0,12
o o o o D = P(blau-schwarz)= 0,48
A B C D
Als Vierfeldertafel werden die Daten dann so präsentiert:
Absolute Werte Wahrscheinlichkeiten
| rot | blau | | rot | blau |
--------------------------- ----------------------------
weiß | 8 | 12 | 20 weiß | 0,08 | 0,12 | 0,2
--------------------------- ----------------------------
schwarz| 32 | 48 | 80 schwarz| 0,32 | 0,48 | 0,8
--------------------------- ----------------------------
| 40 | 60 | 100 | 0,4 | 0,6 | 1
Vertauscht man im Baumdiagramm die Stufen, so ändern sich die jeweiligen Werte nicht, da die Merkmale unabhängig sind.
mit Abhängigkeit
Man zieht erst aus Urne A, wenn die gezogene Kugel rot ist, zieht man die zweite Kugel aus Urne B, sonst aus C. Die Wahrscheinlichkeiten sind auf der zweiten Stufe unterschiedlich, die Merkmale also abhängig.
o und
rot 4/10 / \ blau 6/10 A = P(rot-weiß) = 0,08
o o B = P(rot-schwarz) = 0,32
schwarz 8/10 / \ / \ schwarz 7/10 C = P(blau-weiß) = 0,18
weiß 2/10 o o o o weiß 3/10 D = P(blau-schwarz)= 0,42
A B C D
Als Vierfeldertafel werden die Daten dann so präsentiert:
Absolute Werte Wahrscheinlichkeiten
| rot | blau | | rot | blau |
--------------------------- -----------------------------
weiß | 8 | 18 | 26 weiß | 0,08 | 0,12 | 0,26
--------------------------- -----------------------------
schwarz| 32 | 42 | 74 schwarz| 0,32 | 0,48 | 0,74
--------------------------- -----------------------------
| 40 | 60 | 100 | 0,4 | 0,6 | 1
In diesem Fall stehen in der rechten Spalte nicht die Wahrscheinlichkeiten der 2. Stufe, daher ergeben sich für rot und blau in Abhängigkeit von schwarz und weiß neue Wahrscheinlichkeiten im umgedrehten Baumdiagramm.
o und
weiß 0,26 / \ schwarz 0,74 A = P(rot-weiß) = 0,08
o o B = P(rot-schwarz) = 0,32
blau|s 0,69 / \ / \ blau|w 0,57 C = P(blau-weiß) = 0,18
rot|s 0,31 o o o o rot|w 0,43 D = P(blau-schwarz)= 0,42
A C B D
