Winkel und Abstände

Neben der allgemeinen Lage im Raum sind weitere Größen interessant, um die Beziehung zwischen Objekten zu verdeutlichen, insbesondere der Abstand und der Winkel zwischen Geraden¹⁾.

Ist der Abstand zwischen zwei Objekten gesucht, so ist grundsätzlich der kürzest mögliche Abstand gemeint.

Das Verfahren zur Abstandsbestimmung ist dabei immer dasselbe: Man bestimmt die Länge des Vektors zwischen den zwei den Abstand markierenden Punkten. Dieser Vektor muss dabei auf der Gerade (oder Ebene) senkrecht stehen, d.h. senkrecht zu den jeweiligen Richtungsvektoren sein.

Stehen zwei Vektoren senkrecht zueinander, so hat ihr Skalarprodukt den Wert 0.
Es gilt also $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 =0$

Damit die Buchstaben nicht so schnell ausgehen, gilt hier und im Folgenden, dass ein Punkt P die Koordinaten (p₁|p₂|p₃) hat, der Ortsvektor $\vec{OP}$, mit $O$ = Ursprung, wird mit $\vec{p}$ bezeichnet.

Eine Gerade wird mit g bezeichnet, wobei g für alle Punkte $\vec{x}$ steht, die die Geradengleichung $g: \vec{x} = \vec{s} + t~ \vec{r}$ erfüllen.

Zwei Punkte sind dann und nur dann identisch, wenn ihre Koordinaten identisch sind.

Bei unterschiedlichen Punkten P und Q berechnet man den Abstand d (also die Länge des Vektors zwischen den Punkten) dann mit

\[d = \sqrt{(p_1-q_1)^2 + (p_2-q_2)^2 + (p_3-q_3)^2}= |\vec{QP}|\]

Derive:

abs([p1, p2, p3]-[q1, q2, q3])

Findet sich beim Lösen der Gleichung P = g eine eindeutige Lösung für den Parameter, so liegt der Punkt auf der Gerade und der Abstand beträgt 0. In allen anderen Fällen wird der Abstand in drei Schritten berechnet:

1. $(\vec{x} - \vec{p})\cdot \vec{r} = 0$ lösen, man erhält einen Wert für den Paramter t.
2. t in die Geradengleichung einsetzen: Man erhält die Koordinaten des für die Abstandsberechnung gesuchten Punktes auf der Gerade.
3. Den Abstand der Punkte X und P berechnen.

Derive: Es empfiehlt sich, die Gerade wie folgt zu definieren:

g(t) := [s1, s2, s3] + t [r1, r2, r3]

1. (g(t) - [p1, p2, p3]).[r1, r2, r3] = 0 lösen
2. mit g(t) = die Koordinaten des Punktes X bestimmen
3. mit abs(g(t) - [p1, p2, p3])= den Abstand berechnen

Die Koordinatenachsen sind Ursprungsgeraden, deren Richtungsvektor bei zwei Koordinaten den Wert 0 hat:

x-Achse: $\vec{x} = x \left(\begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\end{array}\right)$

y-Achse: $\vec{y} = y \left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\end{array}\right)$

z-Achse: $\vec{z} = z \left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\end{array}\right)$

Das Rechenverfahren ist dann genauso wie bei den „normalen“ Geraden.

Die Geraden seien g und h, die Punkte auf g werden hier mit $\vec{g}$, die auf h mit $\vec{h}$ bezeichnet.

In den Fällen, in denen g und h identisch sind oder aber einen Schnittpunkt haben ist der Abstand 0.

Bleiben noch parallele und windschiefe Geraden, bei denen der Abstand zu untersuchen ist.

Bei parallelen Geraden sind die Richtungsvektoren identisch oder Vielfache voneinander, der Abstand der beiden Geraden ist an jeder Stelle identisch. Daher wählt man einen beliebigen Punkt auf der einen Gerade durch freie Wahl des Parameterwertes, z.B. g und t_g = 0, und berechnet von da aus den für die Abstandsberechnung benötigten Punkt auf der Gerade h, wieder in den drei Schritten wie beim Fall Punkt - Gerade.

1. $(\vec{g}_{t\, =\, 0} - \vec{h}_s) \cdot \vec{r} = 0$ mit $\vec{r}$: Richtungsvektor von g oder h, man erhält den Parameterwert der Gerade h
2. mit t _h und der Geradengleichung von h die Koordinaten des zweiten Punktes bestimmen
3. den Abstand der beiden Punkte berechnen

Derive:

1. (g(0) - h(s)).[r1, r2, r3] = 0 lösen, man erhält den Wert für s.
2. g(0) = gibt die Koordinaten des ersten Punktes, h(s) = gibt die Koordinaten des zweiten Punktes
3. abs(g(0) - h(s)) = gibt den Abstand.

Da hier die Richtungsvektoren unterschiedlich sind, der gesuchte Vektor aber zu beiden Richtungsvektoren senkrecht stehen muss, muss ein System aus zwei Vektorgleichungen gelöst werden:

\[(\vec{g}_{t} - \vec{h}_s) \cdot \vec{r_g} = 0 \quad \mbox{und} \quad (\vec{g}_{t} - \vec{h}_s) \cdot \vec{r_h} = 0\]

In Derive nutzt man Lösen > System, man erhält eine Wert für den Parameter t und einen für den Parameter s. Diese setzt man in die Geradengleichungen ein und erhält damit die Koordinaten der gesuchten Punkte. Dann muss man nur noch, wie gehabt, den Abstand der Punkte berechnen.

Auch im Vergleich zu den Koordinatenachsen kann eine Gerade parallel oder windschief liegen, mit der Achse identisch sein oder einen Schnittpunkt mit der Achse haben. Das Verfahren der Abstandsbestimmung bleibt auch hier gleich.

Hat das Skalarprodukt zweier Vektoren den Wert 0, so stehen die Vektoren senkrecht aufeinander. Mit Hilfe des Skalarproduktes lassen sich aber auch die Größen der Winkel zwischen beliebigen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ bestimmen:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, mit $|\vec{a}|$: Länge des Vektors $\vec{a}$ usw.

Der Wert des Skalarproduktes wird durch das Produkt der Beträge dividiert. Aus dem Ergebnis erhält man dann mit Hilfe der Umkehrfunktion des Cosinus (TR: cos^-1, Derive: ACOS(…)) den Wert des eingeschlossenen Winkels. Dazu muss aber der Winkelbereich auf „Gradangabe“ stehen, nicht, wie als Standard in Derive, auf Bogenmaß - im TR ist üblicherweise der Modus DEG eingestellt, wodurch Gradangaben erzeugt werden.

In Derive muss zunächst mit Angle := Degree dieser Bereich eingestellt werden (hier kommt es auf Groß- und Kleinschreibung an). Als Test bietet sich die Berechnung von ACOS(0.5)= an, hier muss dann 60 als Ergebnis angezeigt werden.

Den Winkel zwischen zwei Vektoren ermittelt man in Derive dann durch (numerisches) Lösen der Gleichung, also durch Klicken auf $\approx$

ACOS(([a1, a2, a3].[b1, b2, b3])/(abs([a1, a2, a3])*abs([b1, b2,b3])))

Bevor man den berechneten Winkel als Antwort aufschreibt, sollte man kurz überlegen, ob der in der Aufgabe gesuchte Winkel zwischen 0° und 180° liegt (wie die durch diese Rechnung möglichen Ergebnisse) oder nur zwischen 0° und 90° - wie bei dem Winkel zwischen Geraden, wo grundsätzlich nur der kleiner des Nebenwinkelpaars gesucht wird. Erhält man hier ein Ergebnis, das größer als 90° ist, so muss für die Antwort der berechnete Wert noch von 180° subtrahiert werden.

Bei identischen und parallelen Geraden hat der Winkel zwischen den Geraden die Größe 0°, bei sich schneidenden und bei windschiefen Geraden berechnet man den Winkel zwischen den Richtungsvektoren und gibt den Winkel im Bereich 0°< $\alpha~ \le$ 90° an.

Alle Punkte der Koordinatenebenen haben für eine Koordinate den Wert 0:

• x,y-Ebene (1-2-Ebene): z = 0, also (x|y|0)
• x,z-Ebene (1-3-Ebene): y = 0, also (x|0|z)
• y,z-Ebene (2,3-Ebene): x = 0, also (0|y|z)

Der Abstand eines Punktes von einer der Koordinatenebenen wird also die Koordinate angegeben, die bei den Punkten der Ebene den Wert 0 hat.

Hat eine Gerade in einer der Ebenen einen Spurpunkt, so ist der Abstand der Gerade zur Ebene 0.

Existiert kein Spurpunkt, so läuft die Gerade parallel zur Ebene. Der Abstand der Gerade zur Koordinatebene ist dann also gleich dem Abstand eines beliebigen Punktes der Gerade zur Koordinatenebene.