Klassische Aufgaben

Bei den klassischen Aufgaben der Vektorgeometrie wird z.B. rechnerisch gezeigt, ob ein Punkt auf einer Gerade oder einer Ebene liegt, oder wie Geraden zueinander oder im Vergleich zur Ebene liegen, oder wie Ebenen zueinander liegen.

Geradengleichung:

Ebenengleichung:

Zunächst können die Geraden- und Ebenengleichungen aber auch genutzt werden, um die Koordinaten bestimmter Punkte zu bestimmen, die auf der Gerade oder der Ebene liegen.

Hier setzt man für den Parameter [die Parameter und ] feste Werte ein und berechnet dann die Koordinaten des Punktes (skalare Multiplikation und Vektoraddition).

Beispiel: Gesucht sind die Koordinaten des Punktes einer Gerade, der bei = 5 liegt.

Dazu ersetzt man durch den zu überprüfenden Vektor und löst das durch die Vektorgleichung gegebene Gleichungssystem. Ergibt sich in allen drei Gleichungen des System für den Parameter [die Parameter jeweils] derselbe Wert, so liegt der Punkt auf der Gerade [der Ebene]. Weicht nur eine Gleichung in der Lösung ab, so liegt der Punkt nicht auf der Gerade [der Ebene].

Beispiel: Liegen die Punkte P(0|-1|7) und Q(-7|6|-8) auf der Gerade ?

P überprüfen:

Resultierendes Gleichungssystem

1. 0 = -4 + 2 = 2
2. -1 = 3 + (-2) = 2
3. 7 = 1 + 6 = 1 P liegt nicht auf der Gerade

Q überprüfen:

Resultierendes Gleichungssystem

1. -7 = -4 + 2
2. 6 = 3 + (-2)
3. -8 = 1 + 6 Q liegt auf der Gerade

Um zu zeigen, dass ein Punkt auf einer Gerade liegt, müssen alle drei Gleichungen zum selben Ergebnis kommen. Hat man andererseits schon bei der zweiten Gleichung eine Abweichung, so ist gezeigt, dass der Punkt nicht auf der Gerade liegt - die dritte Gleichung muss dann nicht mehr überprüft werden.