Einführung in die Analytische Geometrie

_{Jg. 12 Mathematik, Schuljahr 2003/2004}

Geometrie in der Mittelstufe ist Geometrie in der Ebene, basierend auf Euklids Axiomensystem. Wesentlicher Teil ist das Lösen von Konstruktionsaufgaben und der Beweis geometrischer Sätze durch begründetes Argumentieren. Als Objekte der Ebene werden Punkte, Geraden und Flächen betrachtet, mit den entsprechenden Winkeln und Strecken. Die Eigenschaften und möglichen Beziehungen dieser Objekte untereinander werden erarbeitet.

In der Analytischen Geometrie werden Vektoren als neue Objekte eingeführt, die neben ihrer Länge als neue Eigenschaft die Richtung mitbringen. Mit Hilfe der Vektoren lassen sich die bekannten Objekte so beschreiben, dass nun einige der vorher argumentativ geführte Beweise durch Nachrechnen durchgeführt werden können. Die größte Verändereung ist jedoch, dass nun räumliche Geometrie betrieben wird - das bekannte Koordinatensystem wird um eine dritte Achse senkrecht zu den anderen beiden erweitert. Damit ist jeder Punkt des Raumes durch drei Koordinaten eindeutig beschreibbar. Die Schwierigkeit besteht nun darin, sich die zu untersuchenden Objekte in dreidimensionaler Umgebung vorzustellen.

Da für alle Objekte eine auf den Koordinaten der enthaltenen Punkte basierende Darstellung gefunden wird, lässt sich die Analytische Geometrie später dann auch auf höherdimensionale Räume übertragen - wenn das auch über die normale Vorstellungskraft hinaus geht.