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Übersicht Abstandsberechnung
Lehrbuch: Schroedel, Elemente der Mathematik 12/13, Grundkurs NRW, 2000
Abstand Punkt-Punkt
Pythagoras lässt grüßen - egal, ob die Punkte nun 2, 3 oder beliebig viele Koordinaten hätten.
oder
oder …
Abstand Punkt-Gerade
Der Abstand zweier Objekte ist die Länge der kürzesten Verbindungsstrecke zwischen den beiden Objekten. Gesucht ist also der Schnittpunkt eines vom gegebenen Punkt ausgehenden Normalenvektors der Geraden mit der Geraden. Dann kann der Abstand zwischen diesen beiden Punkten berechnet werden.
Abstand Gerade-Gerade
1. Fall: sich schneidende Geraden
Der Abstand bei sich schneidenden Geraden beträgt immer 0 (im Schnittpunkt ).
2. Fall: parallele Geraden
Der Abstand ist immer gleichbleibend, daher wählt man sich einen Punkt auf der einen Geraden (z.B. den Stützvektor) und berechnet dann den Abstand dieses Punktes zur anderen Gerade wie bei „Abstand Punkt-Gerade“.
3. Fall: windschiefe Geraden
Windschiefe Geraden sind nicht parallel, schneiden sich aber auch nicht (können also in der Ebene nicht vorkommen). Hier müssen also auf den Geraden die Punkte gefunden werden, deren Abstand minimal ist.
Beispielrechnung für windschiefe Geraden
Vorstellung
Man drehe die Geraden so, dass der Eindruck erweckt wird, dass sich diese Geraden schneiden.4) Gesucht ist jetzt derjenige Vektor, der senkrecht von der oberen Geraden auf die untere zeigt (in der entsprechenden Projektion also nicht zu sehen ist).
Eigenschaften des Vektors
- Ein Fußpunkt liegt auf der einen Geraden.
- Der andere Fußpunkt liegt auf der zweiten Geraden.
- Der Vektor zwischen diesen beiden Punkten steht auf beiden Geraden senkrecht.
Beispielaufgabe
Zwei Flugrouten sollen als Geradengleichungen angegeben werden und ihr Abstand soll berechnet werden.5)
Geradengleichungen der Flugrouten
Ort zum Zeitpunkt 0: Stützvektor, Geschwindigkeitsvektor: Richtungsvektor
Sportflugzeug: also
Militärflugzeug: also
Fußpunkte P (auf s) und Q (auf m)
Da auf
liegen soll und
auf
, muss man für die jeweiligen Ortsvektoren nur die Geradengleichungen von
und
nehmen und anstelle des Vektors
die Vektoren
bzw.
verwenden:
und
Der Verbindungsvektor PQ
Am Ende der Rechnung interessiert uns die Länge dieses Verbindungsvektors, daher ist es eigentlich egal, ob der Vektor oder der Vektor
betrachtet wird… Bleiben wir bei
.
Eigenschaften des Verbindungsvektors
Da der Vektor auf beiden Geraden senkrecht stehen soll, muss das Skalarprodukt des Vektors mit den jeweiligen Richtungsvektoren 0 ergeben.
und
und
und
Lösen des Gleichungssystems
einsetzen:
und
in
einsetzen:
Der gesuchte Abstand ist die Länge des Vektors :
Bestimmen der Koordinaten von P und Q
Zum Bestimmen des Abstands waren die eigentlichen Koordinaten der Fußpunkte und
unwichtig, für die weiteren Berechnungen der Aufgabe müssen sie nun bestimmt werden.
Wann werden P und Q durch die Flugzeuge erreicht?
Jetzt heißt es praktisch denken - wie kommt man vom Start (Ort zum Zeitpunkt 0) zum gewünschten Punkt?
Mathematisch: Stützvektor + (bzw.
) mal Richtungsvektor
Also geben bzw.
die notwendigen Flugzeiten an, d.h. das Sportflugzeug braucht ca. 0,0148 h, das Militärflugzeug ca. 0,0052 h. Umgerechnet in Sekunden benötigt das Sportflugzeug also ca. 53 s, das Militärflugzeug ca. 19 s.
Die kleinste Entfernung der Flugzeuge
Warum ist diese Frage durch Bestimmung des Abstands der beiden Geraden noch nicht gelöst?
Weil die Flugzeuge zu unterschiedlichen Zeiten an
bzw.
sind (
).
Der zu bestimmende Abstand muss also größer als der schon berechnete Abstand der Flugrouten sein. Außerdem muss jetzt gelten, damit die Flugzeuge zur selben Zeit am betrachteten Ort sind. Daher wird für den Faktor nun
verwendet.
Abstand der Flugzeuge: , dabei steht
wieder für das Militärflugzeug,
für das Sportflugzeug.
Der Abstand ist am kleinsten, wenn der Ausdruck unter der Wurzel am kleinsten ist - und das wäre ja gerade das Minimum dieser quadratischen Funktion . Das berechnen wir mit der ersten Ableitung:
Setzt man diesen Wert in die Abstandsfunktion ein, so erhält man als minimalen Abstand der beiden Flugzeuge ca. 1,6 km (in grün gezeichnet) - zur Erinnerung: der geringste Abstand der Flugrouten betrug ca. 0,488 km (in rot gezeichnet).