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Wiederholung Tangenten
Aufgabentypen
- - Vorgehensweise
Aufgaben

Wiederholung Tangenten

_{Jg. 12, Schuljahr 2003/2004}

Definition

(

|

) mit

und

ist ein Punkt des Graphen

der Funktion

. Eine Gerade

durch

heißt Tangente an

in

, wenn

die Steigung

hat.

heißt daher Steigung des Graphen in

.

Bemerkung

Eine Gerade

durch

heißt Normale von

in

, wenn

senkrecht zur Tangente

in

an

ist. Ist

die Steigung der Tangente, so ist

die Steigung der Normale („die Steigung der Normalen ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung“).

Aufgabentypen

Gegeben sei eine Funktion

mit ihrem Graphen

. Gesucht ist die Gleichung der Tangente an den Graphen von

, wenn

der Berührpunkt der Tangente gegeben ist.
ein Punkt der Tangente außerhalb des Graphen gegeben ist.
die Steigung der Tangente gegeben ist.

Um die Gleichung einer Tangente anzugeben, benötigen wir zwei Informationen, da die allgemeine Geradengleichung

zwei Variablen,

(Steigung) und

(Achsenabschnitt) enthält. D.h. man kommt zum Ziel, wenn man einen Punkt der Tangente und deren Steigung kennt oder wenn man zwei Punkte der Tangente kennt.

Vorgehensweise

Aufgabentyp 1:

ist als ein Punkt der Tangente und der Funktion gegeben, also bestimmt man mit Hilfe von die Steigung der Funktion im Punkt und kennt dadurch die Steigung der Tangente.

Aufgabentyp 2:

ist als Punkt der Tangente, aber nicht Punkt der Funktion gegeben: Hier wird es kniffliger. Gesucht ist zunächst der Berührpunkt der Tangente an die Funktion, also ein Punkt, für den gilt:

(1)

Außerdem wissen wir, dass die Steigung der Geraden gleich der Steigung im gesuchten Punkt ist, also:

(2)

Damit ergibt sich für die Tangentengleichung:

(3)

Nennen wir die Koordinaten von so erhalten wir als zweite Gleichung:

(4)

Formt man Gleichung (4) nach um und setzt in Gleichung (3) ein, und erinnert sich gleichzeitig daran, dass nach Gleichung (1) gilt, so erhält man eine Gleichung, die nur noch von abhängt:

(5)

Wenn diese Gleichung dann mit gegebenem nach aufgelöst wird, erhält man die gesuchte Stelle, berechnet dann die Koordinate und kann dann die Tangentengleichung bestimmen.

Aufgabentyp 3:

Vergleichsweise einfach: Aus der gegebenen Steigung (gerne als „Tangente parallel zu Gerade “) bestimmt man mit die gesuchte Stelle , und über den daraus ermittelten Berührpunkt die Tangentengleichung.

Aufgaben

Für die Aufgaben 1 - 5 gilt: , für 6. gilt .

Die Gerade geht durch und hat die Steigung . Ermittle die Geradengleichung!
Berechne für die Funktion mit die Gleichung der Tangente an der Stelle .
Gegeben sei die Funktion mit . Ermittle die Gleichungen der Tangenten, die man von Punkt aus an den Graphen von legen kann.
Bestimme die Gleichung einer zur Geraden mit parallelen Tangente an den Graphen von mit .
An welchen Stellen hat der Graph der Funktion mit Tangenten mit der Steigung ? Wie lauten ihre Gleichungen?
Beweise: Die Tangente im Punkt der Hyperbel mit der Gleichung schneidet die Achse im Punkt und die Achse im Punkt .

Geraden, mathpublisher