Parabel und quadratische Gleichung

Den Funktionsgraph einer quadratischen Funktion nennt man Parabel. Die Parabel hat, je nach Öffnungsrichtung, einen Hoch- oder einen Tiefpunkt, den Scheitelpunkt. Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Spiegelachse, die senkrecht zur x-Achse durch den Scheitelpunkt verläuft.

Die Normalparabel hat die Funktionsgleichung , sie ist nach oben geöffnet, ihr Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(0|0) und die Funktionswerte der ganzzahligen x-Werte sind die Quadratzahlen.

Die allgemeine Form der Funktionsgleichung der quadratischen Funktion ist .

Die Scheitelpunktsform für die Scheitelpunktskoordinaten S(d|e) lässt sich in die allgemeine Form umwandeln, indem die Klammer aufgelöst wird:

Damit gilt und .

Am Parameter a der quadratischen Funktion, dem Formfaktor, lässt sich ablesen, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt:

• Ist a < 0, also negativ, ist der Graph nach unten geöffnet, für a > 0 nach oben.
• Für a = 1 erhält man die Form einer Normalparabel (für a = -1 ist die dann nach unten geöffnet).
• Gilt -1 < a < 0 oder 0 < a < 1, so ist die Parabel gestaucht, die Parabeläste verlaufen also unterhalb einer Normalparabel mit demselben Scheitelpunkt.
• Gilt a < -1 oder a > 1, so ist die Parabel gestreckt, die Parabeläste liegen also über den Ästen einer Normalparabel mit demselben Scheitelpunkt.

Am Parameter c lässt sich ablesen, ob der Ursprung O(0|0) ein Punkt der Parabel ist: Das ist immer dann der Fall, wenn c = 0 gilt.

• Für den Sonderfall b = c = 0 liegt der Scheitelpunkt der Parabel im Ursprung.
• Wenn sich zwei Funktionsgleichungen nur im Wert von c unterscheiden, dann haben die Parabeln die gleiche Form, sind aber um den Wert der Differenz c₁ - c₂ entlang der y-Achse verschoben.

Unter den Nullstellen einer Funktion versteht man die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse. In diesen Punkten hat die y-Koordinate den Wert Null.

Eine Gerade hat immer genau eine Nullstelle, eine quadratische Funktion kann eine, zwei oder gar keine Nullstelle haben.

Da die y-Koordinate den Wert 0 haben muss, löst man zur Berechnung die Gleichung f(x) = 0 und ermittelt darüber die jeweilige x-Koordinate.

Für eine quadratische Funktion muss also die quadratische Gleichung gelöst werden.

Neben der Methode der quadratischen Ergänzung und einer der sogenannten ab-Formel, die direkt mit den Werten dieser Gleichung arbeitet, ist die Lösung mit Hilfe der pq-Formel in der Regel die geläufigste.

Dazu muss zunächst der Term der quadratischen Gleichung in die Normalform umgewandelt werden, d.h. vor darf kein Faktor mehr sein (auch nicht „-“, da gilt).

Damit gilt also und .

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung werden dann mit der pq-Formel berechnet:

_{Zum Merken: „x eins zwei ist gleich minus p halbe plusminus der Wurzel von dem, was vor der Wurzel steht, zum Quadrat, minus q“ - die Formel steht aber auch in der Formelsammlung.}

Am unter der Wurzel stehenden Ausdruck erkennt man, wie viele Lösungen diese Gleichung, d.h. wie viele Nullstellen die quadratische Funktion hat:

• D = 0: nur eine Lösung,
• D < 0: keine Lösung, da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann
• D > 0: zwei Lösungen, die durch die Formel angegeben werden.