Integralrechnung: Flächenberechnung mit Hilfe der Stammfunktion

(Text in Arbeit)

Mit Hilfe der Integralrechnung wurde ein funktioneller Ansatz gefunden um den Flächeninhalt solcher Flächen zu bestimmen, die nicht durch Geradenstücke begrenzt sind. Die Integralrechnung kann jetzt immer dort weiterhelfen, wo die Begrenzung der Flächen als Teil eines Funktionsgraphs beschrieben werden kann.

Ohne Integralrechnung (bzw. wenn man keine passende Funktion findet) muss man, wie bei Suche nach einer Formel für den Flächeninhalt eines Kreises, den Flächeninhalt annähern. Dazu wird die Fläche in berechenbare Stücke geteilt (z.B. Quadrate oder rechteckige Streifen) und einmal eine Fläche bestimmt, die etwas zu klein ist und zum zweiten eine Fläche, die etwas zu groß ist. Zwischen diesen beiden bestimmten Flächeninhalten liegt dann der wahre Flächeninhalt des Kreises. Zur Verbesserung des Näherungswertes muss dann die Flächenaufteilung verfeinert werden, so dass die Reste bzw. Überstände immer kleiner werden.

Insbesondere das Verfahren mit den Streifen lässt sich natürlich auch bei Flächen anwenden, die z.B. nach oben durch den Graph einer beliebigen Funktion begrenzt werden, von unten durch die x-Achse und von links und rechts durch Parallelen zur y-Achse. (Riemann)

Hat eine Funktion mindestens zwei Nullstellen, so existieren Flächen, die durch den Funktionsgraphen und die x-Achse begrenzt werden.

Um den Flächeninhalt dieser Flächen zu berechnen, benötigt man

1. die Nullstellen für die Grenzen
2. die Stammfunktion
3. möglichst eine Skizze, um sich klar zu machen, ob das Flächenstück unter- oder oberhalb der x-Achse liegt.

Man berechnet den Flächeninhalt dann mit Hilfe des bestimmten Integrals, indem man die linke Nullstelle als untere Grenze und die rechte Nullstelle als obere Grenze einsetzt.

Liegt das Flächenstück oberhalb der x-Achse, so ist die Maßzahl des Flächeninhalts positiv, sonst negativ.¹⁾

Erhält man also eine negative Maßzahl, so nimmt man für den Flächeninhalt den Betrag dieser Zahl.

(mit F(x) Stammfunktion von f(x))

Werden Intervallgrenzen vorgegeben, so ist das Flächenstück in der Regel durch die Kurve, die x-Achse und zwei Parallen zur y-Achse begrenzt.²⁾

Um den Flächeninhalt der zwischen Kurve und x-Achse liegenden Flächen korrekt zu bestimmen, muss zunächst überprüft werden, ob im vorgegebenen Intervall Nullstellen liegen. Ist das der Fall, muss das Intervall in Teilintervalle unterteilt werden, um dann für jedes Teilintervall den Flächeninhalt der eingeschlossenen Fläche zu bestimmen.

Würde man die Nullstellen nicht beachten, würde man den Inhalt der Flächen, die unterhalb der x-Achse liegen, von den Flächeninhalten subtrahieren, die oberhalb der x-Achse liegen. Der bestimmte Gesamtflächeninhalt wäre also zu klein (bzw. könnte auch 0 oder negativ sein).

Hier wird die Vorgehensweise der Bestimmung von Flächen zwischen einer Kurve und der x-Achse verallgemeinert. Als zweite Funktion hat man jetzt einen von y = 0 (x-Achse) verschiedenen Term.

Stellt man sich vor, dass beide Graphen oberhalb der x-Achse liegen und die Intervallgrenzen vorgegeben sind, so kann man den dazwischenliegenden Flächeninhalt bestimmen, indem man vom Inhalt der größeren Fläche den Inhalt der kleineren Fläche subtrahiert:

(Der Graph von f(x) liegt über dem von g(x).)

Bei vorgegebenen Grenzen muss hier dann überprüft werden, ob im Intervall Schnittpunkte der Graphen vorliegen, da sich an den Schnittpunkten die Reihenfolge der Graphen ändert. Man würde also wieder Flächeninhalte mit negativem und positivem Vorzeichen erhalten und der bestimmte Gesamtflächeninhalt wäre zu klein.

Um den von den Graphen eingeschlossenen Flächeninhalt zu bestimmen müssen hier dann also auch die Schnittpunkte bestimmt werden³⁾ und die Flächeninhalte für alle Teilflächen von Schnittpunkt bis Schnittpunkt bestimmt werden.