Funktionsuntersuchung - ABC der Funktionen
- Symmetrie
Achsensymmetrie zur y-Achse zeigen alle Funktionen, die nur Teilterme mit geradem Exponenten haben (dazu gehört auch x0). Für diese Funktionen gilt: f(x) = f(-x).
Punktsymmetrie zum Ursprung zeigen alle Funktionen, die nur Teilterme mit ungeradem Exponenten haben. Für diese Funktionen gilt: f(x) = -f(-x).
Beide Regeln gelten sowohl für positive als auch für negative Exponenten. - Nullstellen
Ist eine Funktion vom Grad n, so hat sie maximal n Nullstellen. Schneidet der Graph an einer Nullstelle die x-Achse, so zählt diese Nullstelle einfach. Berührt dagegen der Graph die x-Achse an der Nullstelle nur (d.h. es liegt gleichzeitig ein Extremum vor), so zählt die Nullstelle doppelt.
Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Nullstellen: f(x) = 0.
Anmerkung: Ist der Grad n einer Funktion gerade, so kann es auch vorkommen, dass der Graph keine Nullstellen besitzt. - Extremstellen
Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Extremstellen: f'(x) = 0 (notwendig) bzw. f'(x) = 0 und f''(x) ungleich 0 (hinreichend).
Ein Maximum (Hochpunkt) liegt immer in einer Rechtskurve, für diese Stelle gilt dann f''(x) < 0.
Ein Minimum (Tiefpunkt) liegt immer in einer Linkskurve, für diese Stelle gilt dann f''(x) > 0. - Wendestellen
Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Wendestellen: f''(x) = 0 (notwendig) bzw. f''(x) = 0 und f'''(x) ungleich 0 (hinreichend).
Um die y-Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte auszurechnen, setzt man die gefunden x-Koordinaten in die Ausgangsfunktion ein, bestimmt also den Wert f(x).
Zusammenhang zwischen einem Funktionsterm und seinen Ableitungen
Zu jedem Funktionsterm vom Grad n lassen sich n+1 Ableitungen bilden. Dabei gilt dann immer (wenn so viele Ableitungen ungleich Null existieren) f(n+1)(x) = 0, f(n)(x) = k (d.h., konstant), f(n-1)(x)= mx +n (also eine lineare Funktion), f(n-2)(x) = ax^2 + bx + c (also eine quadratische Funktion) usw..
f(n) liest man als „n-te Ableitung von f“
f(x) | f'(x) | f„(x) | f“'(x) |
---|---|---|---|
Nullstelle | |||
monoton fallend | negativ | ||
monoton steigend | positiv | ||
Linkskurve | monoton steigend | positiv | |
Rechtskurve | monoton fallend | negativ | |
Extremstelle | Nullstelle | keine Nullstelle | |
- Maximum | Nullstelle | negativ | |
- Minimum | Nullstelle | positiv | |
Sattelpunkt | Nullstelle | Nullstelle | keine Nullstelle |
Wendestelle | Extremstelle | Nullstelle | keine Nullstelle |
An einer Wendestelle befindet sich also immer die lokal größte oder kleinste Steigung.