Funktionsuntersuchung - ABC der Funktionen

  1. Symmetrie
    Achsensymmetrie zur y-Achse zeigen alle Funktionen, die nur Teilterme mit geradem Exponenten haben (dazu gehört auch x0). Für diese Funktionen gilt: f(x) = f(-x).
    Punktsymmetrie zum Ursprung zeigen alle Funktionen, die nur Teilterme mit ungeradem Exponenten haben. Für diese Funktionen gilt: f(x) = -f(-x).
    Beide Regeln gelten sowohl für positive als auch für negative Exponenten.
  2. Nullstellen
    Ist eine Funktion vom Grad n, so hat sie maximal n Nullstellen. Schneidet der Graph an einer Nullstelle die x-Achse, so zählt diese Nullstelle einfach. Berührt dagegen der Graph die x-Achse an der Nullstelle nur (d.h. es liegt gleichzeitig ein Extremum vor), so zählt die Nullstelle doppelt.
    Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Nullstellen: f(x) = 0.
    Anmerkung: Ist der Grad n einer Funktion gerade, so kann es auch vorkommen, dass der Graph keine Nullstellen besitzt.
  3. Extremstellen
    Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Extremstellen: f'(x) = 0 (notwendig) bzw. f'(x) = 0 und f''(x) ungleich 0 (hinreichend).
    Ein Maximum (Hochpunkt) liegt immer in einer Rechtskurve, für diese Stelle gilt dann f''(x) < 0.
    Ein Minimum (Tiefpunkt) liegt immer in einer Linkskurve, für diese Stelle gilt dann f''(x) > 0.
  4. Wendestellen
    Rechnerischer Ansatz zur Bestimmung der Wendestellen: f''(x) = 0 (notwendig) bzw. f''(x) = 0 und f'''(x) ungleich 0 (hinreichend).

Um die y-Koordinaten der Extrem- und Wendepunkte auszurechnen, setzt man die gefunden x-Koordinaten in die Ausgangsfunktion ein, bestimmt also den Wert f(x).

Zusammenhang zwischen einem Funktionsterm und seinen Ableitungen

Zu jedem Funktionsterm vom Grad n lassen sich n+1 Ableitungen bilden. Dabei gilt dann immer (wenn so viele Ableitungen ungleich Null existieren) f(n+1)(x) = 0, f(n)(x) = k (d.h., konstant), f(n-1)(x)= mx +n (also eine lineare Funktion), f(n-2)(x) = ax^2 + bx + c (also eine quadratische Funktion) usw..

f(n) liest man als „n-te Ableitung von f“

f(x) f'(x) f„(x) f“'(x)
Nullstelle
monoton fallendnegativ
monoton steigendpositiv
Linkskurvemonoton steigendpositiv
Rechtskurvemonoton fallendnegativ
ExtremstelleNullstellekeine Nullstelle
- MaximumNullstellenegativ
- MinimumNullstellepositiv
SattelpunktNullstelleNullstellekeine Nullstelle
WendestelleExtremstelleNullstellekeine Nullstelle

An einer Wendestelle befindet sich also immer die lokal größte oder kleinste Steigung.

Zusammenhang zwischen dem Graph einer Funktion und den Ableitungsgraphen

schule/ma/regelns2/ana/funktionsuntersuchung.txt · Zuletzt geändert: 2018/06/09 11:39 von ahrens
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