Herleitung des Differenzialquotienten

Die Steigung eines Graphen in einem Punkt gibt die Änderungsrate in Sachzusammenhängen an, z.B. die Geschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt bei einem Zeit-Weg-Diagramm.

Bei linearen Funktionen, also dem größten Exponenten , ist diese Steigung in allen Punkten gleich, die Änderungsrate ist also konstant und lässt sich über ein Steigungsdreieck bzw. den Differenzenquotienten ${Delta y}/{Delta x}~=~{y_2 - y_1}/{x_2 - x_1}~=~m$ bestimmen. Der Steigungsgraph (bzw. das Zeit-Geschwindigkeits-Diagramm) zeigt dann eine Parallele zur -Achse, die die -Achse bei schneidet.

Bei allen anderen ganzrationalen Funktionen ändert sich die Steigung stetig, d.h. keine zwei direkt nebeneinander liegende Punkte des Graphen (deren Abstand also minimal klein ist) haben die gleiche Steigung.

Hier lässt sich über den Differenzenquotienten, was zeichnerisch einer Sekante durch zwei Punkte des Graphen entspricht, nur eine durchschnittliche Steigung/Änderungsrate (Durchschnittsgeschwindigkeit) im gewählten Intervall bestimmen. Diese durchschnittliche Steigung/Änderungsrate entspricht der exakten Steigung im Punkt umso genauer, je kleiner das Intervall gewählt wurde.

Lässt man den Abstand gedanklich 0 werden (praktisch setzt man dann für 0 ein), man schreibt dann , so erhält man die exakte lokale Steigung im Punkt (lokale Änderungsrate, Momentangeschwindigkeit). Zeichnerisch entspricht das dem Zeichnen einer Tangente an den Graphen im Punkt .

Rechnerisch ermittelt man die lokale Steigung, in dem man zunächst wieder einen Differenzenquotienten aufstellt und dann in einem zweiten Schritt den Grenzwert dieses Differenzenquotienten, , also den Differenzialquotienten ermittelt. Führt man das Verfahren für beliebiges durch, so erhält man dadurch die Ableitungsfunktion , mit der man dann die lokale Steigung in jedem Punkt einer Funktion berechnen kann.

Vergleicht man mehrere auf diese Art bestimmte Ableitungsfunktionen mit ihren jeweiligen Ausgangsfunktionen, so lassen sich Regeln aufstellen, mit denen man die Ableitung einer ganzrationalen Funktion auch ohne die h-Methode bestimmen kann.

Die Nullstellen der Ableitungsfunktion entsprechen in jedem Fall den lokalen Extremstellen der Ausgangsfunktion.

h-Methode

Einzelne Schritte:

Gegeben:

Zu berechnen:

Ableitungsregeln

Summenregel: Man bestimmt die Ableitung jedes Summanden einer ganzrationalen Funktion unabhängig von den anderen Summanden.
Potenz- und Faktorregel: Die Ableitung eines Potenzterms, ist $~p prime (x) ~=~ k n x^{n-1}$ . Die Potenz wird also mit dem ursprünglichen Exponenten multipliziert und der Exponent um eins erniedrigt, vorhandene konstante Faktoren (hier: ) bleiben erhalten. Darin enthalten ist der besondere Fall , dessen Ableitung ist, da aus nach der Potenzregel wird.
Konstantenregel: Konstante Summanden fallen weg, da ihre Ableitung 0 ist.

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