Ableitungsregeln - Übersicht

  1. Potenzregel: f(x) ~=~ x^n ~~~doubleright~~~ f prime (x) ~=~n x^{n-1}
    ~~~
  2. Faktorregel: f(x) ~=~ k x^n ~~~doubleright~~~ f prime (x) ~=~k n x^{n-1}
    ~~~
  3. Summenregel: f(x) ~=~ x^n + x^m ~~~doubleright~~~ f prime (x) ~=~n x^{n-1} + m x^{m-1}
    ~~~
  4. Produktregel: f(x) ~=~ u(x)v(x) ~~~doubleright~~~ f prime (x) ~=~ u prime (x) v(x) + u(x) v prime (x)
    ~~~
  5. Quotientenregel: f(x) ~=~ {u(x)}/{q(x)} ~~~doubleright~~~ f prime (x) ~=~ {p prime (x) q(x) - p(x) q prime (x)}/{(v(x))^2}
    ~~~
  6. Kettenregel: f(x) ~=~ s(k(x)) ~~~doubleright~~~ f prime (x) ~=~ s prime (k(x))~*~k prime (x)
    („äußere mal innere Ableitung“)

Anmerkung zur Schreibweise von Quadraten

Wird ein Funktionsterm quadriert, schreibt man das Quadrat in der Regel an den Funktionsnamen, also

(q(x))^2 ~=~ q^2(x) oder (sin(x))^2 ~=~ sin^2(x)

Erläuterungen zu den Regeln

Wir haben bisher sechs verschiedene Regeln zur Ableitung von Funktionen kennengelernt. Eine der einfachsten wäre: die Summenregel.

Die Summenregel besagt ganz einfach, dass, wenn man eine Summe oder Differenz vorliegen hat, man jeden Baustein dieser mindestens zwei Bausteine einzeln ableitet ((g pm h)prime ~=~ g prime pm h prime). Bei dieser Regel und genauso wie bei eigentlich jeder anderen Regel auch, wird die Potenzregel oft gebraucht.

Die Potenzregel sagt lediglich, dass man eine Potenz ableitet indem man den ursprünglichen Wert des Exponenten vor den zu vervielfachenden Faktor setzt ( (x3)' = 3 x2) und dann den ursprünglichen Wert des Exponenten um eins verringert (also: (x4)' = 4 x3).

Dann gibt es neben diesen beiden grundlegenden Gesetzen noch die Faktorregel, welche besagt, dass bei einer Multiplikation (2x^2~*~10) nur der Teil abgeleitet wird, welcher eine Variable enthält (also: (2x^2~*~10) prime ~=~ 2~*~2x~*~10 ~=~ 40x~).1)

Neue Regeln

Hat man aber ein Produkt aus zwei Variablen, greift die Produktregel, welche besagt, dass bei einer Multiplikation zweier Variablenterme jeweils einer der beiden abgeleitet wird (z.B. mit der Potenzregel) und dann mit dem ursprünglichen Term des anderen Faktors multipliziert wird. Dies tut man dann nochmal genauso mit dem anderen Term und addiert diese beiden Produkte dann (also: (xy) prime ~=~ x prime y ~+~ x y prime).

Eine weitere entscheidende Regel, die wir kennen, ist die Quotientenregel. Bei der Quotientenregel hat man einen Quotienten (u/v) und mit den einzelnen Teilen des Quotienten (u bzw. v) macht man das gleiche wie bei der Produktregel, nur addiert man die beiden gebildeten Produktterme nicht sondern subtrahiert sie. Mit dem unterem Teil des Quotienten2) macht dann nichts weiter mehr als ihn einfach zu quadrieren (also: (u/v) prime ~=~ {u prime v ~-~ u v prime}/{v^2}).

Die letzte Regel, die wir kennen, ist die Kettenregel. Bei der Kettenregel haben wir eine Funktion in einer anderen verschachtelt (z.B. sqrt{sin(x)}~). Dort fängt man dann mit der äußeren an und leitet zuerst nur diese ab, ohne die innere zu beachten (~1/{2 sqrt{sin(x)}}~) und multipliziert dieses Ergebnis dann mit der Ableitung der inneren Funktion (hier: cos(x), also zusammengefasst (sqrt{sin(x)}) prime ~=~ 1/{2 sqrt{sin(x)}} ~*~ cos(x)~=~ {cos(x)}/{2 sqrt{sin(x)}}~).

Schülerbeitrag

1)
anders formuliert: konstante Faktoren bleiben beim Ableiten erhalten [Ah]
2)
also dem Nenner [Ah]
schule/ma/regelns2/ana/ableitung.txt · Zuletzt geändert: 2018/06/09 11:26 von ahrens
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