Mit einem normalen Spielwürfel: Die Zahlen 1 bis 6 sind gleichwahrscheinlich, da der Würfel von allen Seiten gleich aussieht.

Würfelt man dagegen mit einem 6er-Legostein, stellt man fest, dass die Schmalseiten eher selten, die Längsseiten schon häufiger und die größten Flächen am Häufigsten auftreten. Durch die Noppen ist der Schwerpunkt jedoch nicht in der Mitte, so dass die Noppen-Seite häufiger unten liegen müsste als die gegenüberliegende Seite ohne Noppen.

Wenn man bei beiden sogenannten Zufallsgeräten immer 10mal würfelt und die Ergebnisse vergleicht, so wird man feststellen, dass die Ergebnislisten nicht besonders gut übereinstimmen.

Würfelt man aber mehrfach mehrere hundert Mal, so ist die Übereinstimmung deutlich besser.

Je häufiger ein Zufallsversuch durchgeführt wird, desto besser ist die Übereinstimmung der relativen Häufigkeiten mit den Wahrscheinlichkeiten (empirisches Gesetz der großen Zahl).

Die Wahrscheinlichkeit eines Ergebnisses eines Zufallsversuchs ist immer eine Zahl zwischen 0 und 1 - in Prozent ausgedrückt ergeben sich Werte zwischen 0% und 100%. Um Wahrscheinlichkeiten anzugeben, nimmt man den Buchstaben P.¹⁾

Die Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse eines Zufallsversuchs muss 1 (bzw. 100%) ergeben.²⁾

Um deutlich zu machen, wie die Wahrscheinlichkeiten der Ergebnisse verteilt sind, gibt man diese in Tabellenform an - solche Tabellen nennt man dann Wahrscheinlichkeitsverteilung.

Beim Lego-Würfel käme man z.B. auf die folgende Verteilung:

Zufallsversuche, bei denen die Ergebnisse gleichwahrscheinlich sind, nennt man Laplace-Experimente.

Zu den Laplace-Experimenten gehören z.B. das Werfen einer Münze ($P(\mbox{Kopf}) = \frac12,~ P(\mbox{Zahl}) = \frac12$), das Würfeln mit einem normalen Würfel (z.B. $P(6) = \frac16$) oder das Ziehen einer Spielkarte aus einem Skatblatt (z.B. $P(\mbox{Herz-As}) = \frac{1}{32}$).

Die Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Ergebnisse berechnet man als Kehrwert der Anzahl der möglichen Ergebnisse: Wenn also n Ergebnisse möglich sind, ist die Wahrscheinlichkeit des einzelnen Ergebnisse $\frac{1}{n}$.

Um die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu berechnen, z.B. „gerade Zahl“ beim Würfeln, addiert man die Wahrscheinlichkeiten der zum Ereignis gehörenden Ergebnisse (Summenregel).

Im Beispiel: $P(\mbox{gerade Zahl}) = P(2) + P(4) + P(6) = \frac16 + \frac16 + \frac16 = \frac36 = \frac12$

Abkürzend ergibt sich daraus der Ausdruck:

\[P(\mbox{Ereignis}) = \frac{\mbox{Anzahl der für das Ereignis günstigen Ergebnisse}}{\mbox{Anzahl aller möglichen Ergebnisse}} \]

Besteht das Ereignis nur aus einem Ergebnis, so hat man wieder den Ausdruck $\frac{1}{n}$.

Manchmal ist es einfacher, die Wahrscheinlichkeit nicht über die Summenregel, sondern über das Gegenereignis auszurechnen. Wenn man z.B. die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses „keine 6“ bestimmen möchte, kann man natürlich die Wahrscheinscheinlichkeiten von „1“, „2“, „3“, „4“ und „5“ addieren, man kann aber auch einfach die Wahrscheinlichkeit des Gegenereignisses, also „6“ von 1 subtrahieren:

\[P(\mbox{Ereignis}) = 1 - P(\mbox{Gegenereignis}) \]

Im Beispiel wäre es also $P(\mbox{keine 6}) = 1 - P(6) = 1 - \frac16 = \frac56$.

Bei einem mehrstufigen Experiment führt man einen Zufallsversuch nicht nur einmal, sondern mehrfach aus, z.B. würfelt zweimal mit einem Würfel (oder auch: würfelt mit zwei Würfeln).

Ein klassisches Beispiel für ein mehrstufige Experiment ist das Ziehen von mehreren Kugeln aus einer Urne. Dabei kann dann unterschieden werden, ob die Kugeln nach jedem Ziehen wieder in die Urne zurückgelegt werden (mit zurücklegen), oder draußen bleiben (ohne zurücklegen, z.B. Lottoziehung).

Zur Verdeutlichung der möglichen Ergebnisse eines mehrstufigen Experiments zeichnet man ein Baumdiagramm und trägt an den Ästen des Baumes die jeweiligen Wahrscheinlichkeiten ein.

Hat man ein Experiment „mit zurücklegen“, so bleiben die Wahrscheinlichkeiten auf jeder Stufe des Baumes gleich, spielt man „ohne zurücklegen, so ändern sich die Wahrscheinlichekten auf jeder Stufe.

Beispiel: In einer Urne befinden sich 2 rote, 3 blaue und 5 gelbe Kugeln.

Die Wahrscheinlichkeit eine Kugel eine bestimmten Farbe zu ziehen ist $P(rot) = \frac{2}{10} = 0,2$ und $P(blau) = \frac{3}{10} = 0,3$ und $P(gelb) = \frac{5}{10} = 0,5$ .

Um zu bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, zweimal hintereinander eine rote Kugel zu ziehen (die gezogene Kugel soll zurückgelegt werden), zeichnet man ein Baumdiagramm:

Um jetzt die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisse zu bestimmen, z.B. rot-rot (rr), betrachtet man die Wahrscheinlichkeiten entlang des Pfades rot-rot.

Die erste Kugel ist mit der Wahrscheinlichkeit 0,2 rot. Die zweite Wahrscheinlichkeit gibt an, in wieviel Prozent von den ursprünglichen 20% die Kugel wieder rot sein kann. Beim Fall „mit Zurücklegen“ muss man also 20% von 20% berechnen, man muss also die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren (Pfadregel) und erhält für das Ereignis rot-rot die Wahrscheinlichkeit $P(rr) = 0,04$ (dieses Ereignis wird nur durch ein Ergebnis erreicht).

Betrachtet man nun das Ereignis „zwei Kugeln gleicher Farbe“, so muss man entsprechend der Summenregel die Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse addieren.

$P(\mbox{zwei Kugeln gleicher Farbe}) = P(rr) + P(bb) + P(gg) = 0,2 \cdot 0,2 + 0,3 \cdot 0,3 + 0,5 \cdot 0,5 = 0,04 + 0,09 + 0,25 = 0,38$ .

Zieht man ohne Zurücklegen, so ändert sich die Struktur des Baumes und die Rechenmethode nicht, nur die Wahrscheinlichkeiten der zweiten Stufe müssen angepasst werden, da dann eine Kugel weniger in der Urne liegt.

Für das Ereignis rot-rot ergibt sich nun $P(rr) = \frac{2}{10} \cdot \frac19 = \frac{2}{90} = \frac{1}{45}$ (ca. 0,02).

Für das Ereignis „gleiche Farbe“ bleibt es auch bei der Addition der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen Ergebnisse, nur haben die sich im Wert geändert:

$P(\mbox{zwei Kugeln gleicher Farbe}) = P(rr) + P(bb) + P(gg) = \frac15 \cdot \frac19 + \frac{3}{10} \cdot \frac29 + \frac12 \cdot \frac49 = \frac{1}{45} + \frac{3}{45} + \frac{10}{45} = \frac{14}{45}$ (ca. 0,31).

P(Ergebnis) = 1/n mit n: Anzahl der möglichen Ergebnisse (Laplace)

P(Ereignis) = Summe der Ergebniswahrscheinlichkeiten (Summenregel)

P(mehrstufiges Ergebnis) = Produkt der Wahrscheinlichkeiten entlang eines Pfades im Baumdiagramm (Pfadregel)