Inhaltsverzeichnis
Zahlbereiche
Natürliche Zahlen
Symbol $\mathbb{N}$
Natürliche Zahlen sind die, die man zum Zählen braucht, also 1, 2, 3 …
Will man die Null mit einbeziehen, schreibt man $\mathbb{N}_0$.
Die natürlichen Zahlen mit der Null werden am Zahlenstrahl dargestellt.
0—1—2—3—4—5—6—>
Mit natürlichen Zahlen kann man problemlos addieren und multiplizieren. Die Subtraktion ist nur zu lösen, wenn der Minuend größer als der Subtrahend ist. Und die Division geht nur dann ohne Rest auf, wenn der Dividend ein Vielfaches des Divisors ist:
$30 : 6 = 5 \quad$ aber $\quad 31 : 6 = 5 ~~\mathsf{R}~ 1$, $\mathsf{R}$ steht dabei für „Rest“
Ganze Zahlen
Symbol $\mathbb{Z}$
Ganze Zahlen erweitern die natürlichen Zahlen um die negativen Zahlen (also die Gegenzahlen der natürlichen Zahlen) und die Null, also
… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 …
Negative Zahlen sind also natürliche Zahlen mit einem Minus als Vorzeichen.
Ganze Zahlen werden an der Zahlengerade dargestellt:
—(-3)—(-2)—(-1)—0—1—2—3—>
Mit ganzen Zahlen kann man problemlos addieren, multiplizieren und subtrahieren. Nur bei der Division können, wenn der Dividend kein Vielfaches des Divisors ist, weiterhin Reste auftreten.
Die Summe von zwei negativen Zahlen ist immer negativ (minus + minus = minus).
Das Produkt von zwei negativen Zahlen ist immer positiv (minus $\cdot$ minus = plus), das Produkt einer negativen und einer positven Zahl ist immer negativ (minus $\cdot$ plus = minus).
Die Subtraktion einer (negativen) Zahl ist dasselbe wie die Addition der Gegenzahl: 5 - (-3) = 5 + 3
Rationale Zahlen
Symbol $\mathbb{Q}$
Rationale Zahlen erweitern die ganzen Zahlen um die Brüche. Damit lassen sich alle Grundrechenarten problemlos ausführen, auch die Division:
\[31 : 3 = \frac{31}{3} = 10 ~ \frac13\]
Reelle Zahlen
Symbol $\mathbb{R}$
Warum dann reelle Zahlen? Reelle Zahlen werden notwendig, wenn die Wurzel betrachtet wird, also Zahlen gesucht werden, deren Potenz die vorgegebene Zahl ergeben soll.
$\sqrt{9} = 3 \quad$ weil $3^2 = 9$
$\sqrt{8} = ? \quad$ da 8 keine Quadratzahl ist.
Durch Näherung kann man aber auch hier ein Ergebnis bestimmen (das einem der Taschenrechner problemlos berechnet):
$\sqrt{8} \approx 2,828$
Die Zahl $\sqrt{8}$ lässt sich nicht als Bruch darstellen, es ist eine irrationale Zahl.
Auch das Verhältnis von Kreisumfang zum Kreisdurchmesser, $\frac{u}{d} = \pi$, ist eine irrationale Zahl.1)
Die reellen Zahlen erweitern also die rationalen Zahlen um die irrationalen Zahlen.
Irrationale Zahlen sind Zahlen, deren Dezimaldarstellung weder abbrechend noch periodisch ist. Irrationale Zahlen sind also keine Brüche.
Komplexe Zahlen
Symbol $\mathbb{C}$ (sind erst an der Uni relevant)
Komplexe Zahlen bestehen aus einem reellen und einem imaginärem Teil: $a + \imath b$.
Die komplexen Zahlen ermöglichen das Wurzelziehen aus negativen Zahlen, da $\imath^2 = -1$, also z.B. $\sqrt{-9} = 3\imath$.
