Beweis Wurzel 2 ist irrational

Könnte Wurzel 2 nicht doch rational sein?

ist die Länge eines Quadrats mit Seitenlänge 1
Auch andere Zahlen sehen nicht auf den ersten Blick wie rationale Zahlen (bzw. ganze Zahlen oder Bruchzahlen) aus, z.B. , oder .

Gibt es einen Bruch, der dem Wert von Wurzel 2 entspricht?

Probieren wir es aus:

stimmt ab der zweiten Nachkommastelle nicht mehr
stimmt ab der dritten Nachkommastelle nicht mehr
stimmt ab der vierten Nachkommastelle nicht mehr
stimmt ab der sechsten Nachkommastelle nicht mehr

Mit Ausprobieren wird es also schwierig.

Wir nehmen mal an, Wurzel 2 sei ein Bruch ...

… dann können wir das auch so schreiben: .

Dieser Bruch soll vollständig gekürzt sein, und haben also keine gemeinsamen Teiler.

Wenn keine gemeinsamen Teiler hat, dann hat auch ${p~*~p}/{q~*~q} ~=~ {p^2}/{q^2}$ keine gemeinsamen Teiler.

Endziffern bei Quadratzahlen:

0²	1²	2²	3²	4²	5²	6²	7²	8²	9²	10²	usw.
0	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	…

Als Endziffern sind also nur die Ziffern 0, 1, 4, 5, 6 und 9 möglich.

Wenn , dann ist ${p^2}/{q^2} ~=~ 2$ , also ist .¹⁾

Damit könnte p² als Endziffer aber nur die Ziffern 0 (wegen 2*0 = 0, 2*5 = 10), 2 (wegen 2*1=2, 2*6=12) und 8(wegen 2*4=8, 2*9=18) haben. 2 und 8 sind aber als Endziffern bei einer Quadratzahl gar nicht möglich, bleibt also als einzige mögliche Endziffer 0.

Wenn aber p² die Endziffer 0 hat, dann muss auch p die Endziffer 0 haben, denn 0*0 = 0.

Damit kann q² nur die Endziffern 0 und 5 haben, q also auch nur die Endziffern 0 und 5. In beiden Fällen hätten aber p und q mindestens den gemeinsamen Teiler 5 - wären also gar nicht gekürzt.

Widerspruch!

Da aber am Anfang behauptet wurde, dass vollständig gekürzt wurde, ist hier ein Widerspruch aufgetreten - und immer, wenn das passiert, bedeutet es, dass die ursprüngliche Behauptung falsch sein muss.

Hier ist also unsere Behauptung, sei rational, falsch gewesen - also muss eine irrationale Zahl sein (denn es gibt keinen Bruch, der genau den Wert von hat).

Wurzelberechnung, Beweis, mathpublisher

¹⁾

Hier könnte man direkt weiter argumentieren, dass dann p² durch 2 teilbar sein müsste also gerade ist. Wenn aber p² gerade ist, dann muss auch p gerade sein, da nur das Quadrat einer geraden Zahl gerade ist. Da p durch 2 teilbar ist, kann man für p z.B. schreiben p = 2r. Damit wäre aber auch (2r)² = 2q² oder 4r² = 2q² oder 2r² = q². Die letzte Gleichung bedeutet ja wieder, dass q², und damit q gerade sein muss. Wenn aber p und q gerade Zahlen sind, dann sind sowohl p als auch q durch 2 teilbar - womit der Widerspruch zu „vollständig gekürzt“ erreicht ist.