Mehr als eine Gleichung

Geraden sind die Graphen von linearen Gleichungen¹⁾ der Form y = mx + n, wobei m die Steigung ist und n der Achsenabschnitt (diese Gleichung nennt man auch die Normalform einer linearen Gleichung).

Jetzt kommt neu dazu, dass diese Gleichungen auch in der Form ax + by = c angegeben sein können, der Allgemeinen Form einer linearen Gleichung. Mit ein wenig Äquivalenzumformung kann man aus der Allgemeinen Form die Normalform entwickeln:

Die Steigung der Geraden lässt sich also aus der Allgemeinen Form durch berechnen, der Achsenabschnitt durch .

Ist nur eine Gleichung angegeben, kann man

• Wertepaare suchen, die die Gleichung erfüllen (also Punktkoordinaten für die Gerade berechnen, eine Wertetabelle anlegen)
• die Gleichung als Gerade im Koordinatensystem zeichnerisch darstellen (und damit hat man dann alle gültigen Wertepaare für die Gerade im Zeichenbereich erfasst, nämlich genau die Punkte, die auf der Gerade liegen)
• überprüfen, ob ein gegebenes Wertepaar die Gleichung erfüllt (beim Einsetzen muss sich eine wahre Aussage ergeben, beim Zeichnen muss der Punkt auf der Gerade liegen).

Hat man zwei Gleichungen gegeben, so kann man für jede Gleichung Aufgaben lösen, die einer der drei genannten entspricht. Mann kann aber außerdem noch

• die Lage der beiden Geraden zueinander beschreiben,
• zeichnerisch den Schnittpunkt der beiden durch die Gleichungen beschriebenen Geraden bestimmen,
• rechnerisch diesen gemeinsamen Punkt bestimmen, also das Wertepaar, das beide Gleichungen erfüllt (man sagt auch: die Lösung des Gleichungssystems finden).

Zwei Geraden können

• parallel liegen: wenn die Steigungen gleich sind,
• identisch sein: wenn Steigungen und Achsenabschnitt gleich sind,
• sich schneiden: wenn die Steigungen unterschiedlich sind.

Ist bei Geraden, deren Steigungen unterschiedlich sind, der Achsenabschnitt n gleich, so kann man den gemeinsamen Punkt direkt aus der Gleichung ablesen, nämlich (0|n).

Für die rechnerische Lösung des Gleichungssystem gibt es insgesamt drei gleichwertige Rechenverfahren. Je nachdem in welcher Form die Gleichungen gegeben sind ist eines der drei das günstigste vom Zeitaufwand her betrachtet - zur Lösung führen immer alle drei Verfahren.

Da man sich gerne mal verrechnet, ist eine Probe empfehlenswert - das als Lösung bestimmte Wertepaar muss beide Gleichungen erfüllen.

Die Idee beim Lösen eines Gleichungssystems ist ja immer, dass ein Schnittpunkt (x|y) gesucht wird, also ein Punkt, der beide Gleichungen erfüllt.

Gegeben sind zwei Gleichungen, y = f(x) und y = g(x). Da mit y im gemeinsamen Punkt derselbe Wert gemeint ist, gilt natürlich y = y, damit muss auch f(x) = g(x) gelten.

In dieser Gleichung, f(x) = g(x), ist nur noch die Variable x enthalten, man kann die Gleichung also nach x auflösen.

(I) y = f(x) mit f(x) = 0,3x + 5 und (II) y = g(x) mit g(x) = x + 4

(hier sind die Gleichungen schon so gegeben, mit y = …)²⁾

(also aus zwei Gleichungen eine machen)

Aus y = y folgt f(x) = g(x), also 0,3x + 5 = x + 4

Da ein Wertepaar (x|y) gesucht ist, muss man abschließend noch y mit dem bestimmten Wert für x berechnen. Dabei ist es egal, welche von beiden Gleichungen man nimmt - wenn man sich beim Berechnen von x nicht vertan hat, müssen beide Gleichungen denselben Wert für y ergeben, da ja der gemeinsame Punkt berechnet wurde. Also:

Der Schnittpunkt der beiden durch die Gleichungen angegebenen Geraden hat also die Koordinaten (1,43|5,43).

Wie schon beim Gleichsetzungsverfahren beschrieben, geht es wieder darum die beiden Gleichungen zusammen so umzuformen, dass man eine Gleichung mit einer Variablen erthält, aus der man dann den Wert der einen Variablen bestimmen kann.

(I) -3n + m = - 5 und (II) 3m - 12n = 0

(I)³⁾ m = 3n - 5

(also aus zwei Gleichungen eine machen)

Aus (I) m = 3n - 5 und (II) 3m - 12n = 0 folgt

3(3n - 5) - 12n = 0

Da ein Wertepaar, hier (m|n), gesucht ist, muss man abschließend noch den Wert der zweiten Variablen mit dem bestimmten Wert der ersten Variablen berechnen. Dabei ist es egal, welche von beiden Gleichungen man nimmt - wenn man sich beim Berechnen nicht vertan hat, müssen beide Gleichungen denselben Wert ergeben, da ja der gemeinsame Punkt berechnet wurde.

Hier bietet sich jedoch die umgeformte Gleichung (I) an. Also:

Wenn die Variablen n und m die Werte n = -5 und m = -20 annehmen, dann erfüllt dieses Wertepaar beide Gleichungen.

Dieses Verfahren ist aus mathematischer Sicht das interessanteste, da es leicht auf größere Systeme übertragen werden kann (drei Gleichungen mit drei Variablen, vier Gleichungen mit vier Variablen …). Außerdem lässt es sich durch die feststehenden Schritte beim Lösen gut in ein Computerprogramm übertragen, so dass mit diesem Verfahren der Computer ein Gleichungssystem lösen kann.

(I) 6 - 2y = -2x und (II) 0 = 3 + 5y - 4x

(I) 6 = 2y - 2x und (II) -3 = 5y - 4x

(I.1) = (I)*5: 30 = 10y - 10x und (II.1) = (II)*2: -6 = 10y - 8x

(also aus zwei Gleichungen eine machen - bei diesem Schritt muss eine der Variablen wegfallen)

36 = - 2x x = -18

Wenn man verschleppte Fehler vermeiden will, nimmt man zum Bestimmen des Wertes der zweiten Variable eine der Ausgangsgleichungen (freie Wahl), z.B.

(I) 6 - 2y = -2x 6 - 2y = -2(-18) -2y = 30 y = - 15

Wenn die Variablen x und y die Werte x = -18 und y = -15 annehmen, dann erfüllt dieses Wertepaar beide Gleichungen.