Dreieck im Kreis

Im Dreieck über der Sehne eines Kreises ist der Winkel an der Spitze (also an dem Punkt, der nicht auf der Sehne liegt) immer gleich groß - egal, wo sich der dritte Punkt auf der Kreisbahn befindet.

Verändert man die Lage der Sehne, so stellt man fest, dass der Mittelpunktswinkel immer doppelt so groß wie der Winkel an der Spitze ist (Mittelpunktswinkelsatz).

Hat man ein Dreieck, bei dem die längste Seite der Durchmesser des Kreises ist, so ist das Dreieck über oder unter dem Durchmesser immer rechtwinklig (Satz des Thales).

Man soll ein Dreieck zeichnen, von dem die Länge einer Seite und die Größe des Winkels $alpha$ an der Spitze bekannt sind.

1. Sehne zeichnen
2. Mittelpunkt der Sehne finden
3. An den Endpunkten der Sehne Winkel der Größe (180°-2)/2 = 90°- zeichnen. Der Schnittpunkt der freien Schenkel der Winkel ist der Mittelpunkt des Umrkreises.
4. Umkreis zeichnen
5. Einen beliebigen Punkt auf der Kreislinie oberhalb der Sehne wählen und die Endpunkte der Sehne mit diesem Punkt zum Dreieck verbinden.

In diesem Fall kann man sich den 3. Schritt sparen da der Mittelpunktswinkel 180° beträgt - man zeichnet direkt den Umkreis und wählt einen Punkt oberhalb (oder unterhalb) des Durchmessers.

In diesem Fall ist der Mittelpunktswinkel 2 größer als 180°, es lässt sich also zunächst kein Hilfsdreieck zeichnen, um den Mittelpunkt des Umkreises zu bestimmen. Man hilft sich, indem man den Ergänzungswinkel zu 360° bestimmt und den als Mittelpunktswinkel nimmt (also 360° - 2) und damit das Hilfsdreieck zeichnet - die Winkel an der Sehne sind dann also (180° - (360° - 2))/2 = -90°. Jetzt muss man nur noch aufpassen den Punkt au der richtigen Seite der Sehne zu wählen, also auf der Seite, die entgegengesetzt zur der Mittelpunktswinkel