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Funktionenschar
mit Angaben zur Lösung mit Derive
Eine Funktionenschar ist eigentlich nichts anderes als eine normale Funktion, nur mit dem Unterschied, dass mindestens ein Koeffizient als Parameter variabel gehalten wird.
Auch eine Schar lässt sich untersuchen - neben den üblichen Fragestellungen nach Symmetrie, Monotonie oder Nullstellen können jetzt auch spezielle Vertreter der Schar zu vorgegebenen Eigenschaften gesucht werden.
mit
Eine Schar definiert man in Derive am Besten als Funktion mit zwei Variablen:
f(x, t) := 2x^3 - tx^2 + 8x
Will man die Schar zeichnen, verwendet man den vector-Befehl (vor dem Zeichnen muss dann noch vereinfacht werden):
vector(f(x, t), t, -10, 10, 2)
Hier soll der Parameter t die geraden Werte von -10 bis 10 annehmen, das Ergebnis ist eine Liste von konkreten Funktionstermen.
„Von Hand“ berechnet man zunächst z.B. die Nullstellen für konkrete Werte von t - mit Derive ist die allgemeine Berechnung kein Problem.
f(x, t) = 0
Lösungen:
Aus diesen Lösungen kann man ablesen, dass alle Funktionen der Schar bei x = 0 eine Nullstelle haben, jedoch nur die Funktionen mit |t| = 8 eine zweite Nullstelle bei x = 0,25 und nur die Funktionen mit |t| > 8 drei Nullstellen haben.
f(x, 2) = 0
Durch Lösen dieses Ausdrucks erhält man die Nullstelle der Funktion mit t = 2, hier: x = 0
f(2, t) = 0
Durch Lösen dieses Ausdrucks erhält man den Wert des Scharparameters t für den Fall, dass die gesuchte Funktion bei x = 2 eine Nullstelle hat, hier: t = 8
Untersuchung einer Kurvenschar
Zur Verdeutlichung werden die Ergebnisse der Untersuchung der Funktion
und der Funktionenschar
gegenübergestellt.
Funktion definieren
f(x) := x^4 + 2x^3 |
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f(x,k) := x^4 + kx^3 |
Definitionsbereich
Es handelt sich um ganzrationale Funktionen, damit umfasst der Definitionsbereich alle reellen Zahlen ().
Verhalten im Unendlichen
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Symmetrie
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Die Funktion f(x) ist weder punktsymmetrisch zum Ursprung noch achsensymmetrisch zur y-Achse. |
Keine Kurve der Schar ist punktsymmetrisch zum Ursprung. Die Scharkurve f(x, 0) ist achsensymmetrisch zur y-Achse. |
Nullstellen
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f(x) = 0 ⇔ x = -2 oder x = 0 |
f(x,k) = 0 ⇔ x = -k oder x = 0 |
Alle Funktionen der Schar haben die Nullstelle N1(0|0).
Jede Funktion der Schar hat eine weitere Nullstelle N2(-k|0), für k = 2 wie im Beispiel liegt die zweite Nullstelle also bei x = -2.
Extremstellen
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f '(x) = 0 ⇔ x = -1,5 oder x = 0 |
DIF(f(x,k), x, 1) = 0 ⇔ x = -3k/4 oder x = 0 |
Alle Funktionen der Schar haben eine mögliche Extremstelle an der Stelle x = 0.
Jede Funktion der Schar hat eine weitere mögliche Extremstelle an der Stelle x = -3k/4, für k = 2 wie im Beispiel liegt die zweite Stelle also bei x = -1,5.
Wendestellen
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f ''(x) = 0 ⇔ x = -1 oder x = 0 |
DIF(f(x,k), x, 2) = 0 ⇔ x = -k/2 oder x = 0 |
Alle Funktionen der Schar haben einen möglichen Sattelpunkt bei x = 0 (da auch die erste Ableitung an dieser Stelle den Wert 0 hat).
Jede Funktieon hat eine weitere mögliche Wendestelle bei x = -k/2, bei k = 2 wie im Beispiel liegt die zweite Stelle also bei x = -1.
Überprüfen
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f ''(-1.5) = 9 |
f ''(-3k/4, k) = 9/4 k2 > 0 |
Bei der zweiten möglichen Extremstelle handelt es sich bei allen Kurven der Schar um ein Minimum. Für k = 2 lässt sich mit Derive rechnerisch bestimmen, dass es sich hier um ein globales Minimum handelt, für beliebiges k ergibt es sich aus dem Graphen (Sonderfall k = 0: hier fällt die zweite mit der ersten möglichen Extremstelle zusammen.
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f '''(-1) = -12 f '''(0) = 12 |
f '''(-k/2, k) = -6k
f '''(0, k) = 6k |
Für k ungleich 0 haben also alle Funktionen der Schar eine Wendestelle an der Stelle x = -k/2 und einen Sattelpunkt im Punkt (0|0).
Dieser Sattelpunkt ist also gemeinsamer Punkt aller Scharfunktionen.
Für k = 0 handelt es sich um die Funktion f(x) = x4, diese besitzt keinen Wendepunkt und einen Extrempunkt an der Stelle x = 0, da die erste nichtverschwindende Ableitung die vierte Ableitung, also eine gerade Ableitung ist (f ''''(x) = 24).
Zusammenfassung
| f(x) = x4 + 2x3 | fk(x) = x4 + kx3 | |
|---|---|---|
| [also f2(x)] | k | k = 0 ⇔ f0(x) = x4 |
| N1(0|0) (Sattelpunkt) | N1(0|0) (Tiefpunkt, global) | |
| N2(-2|0) | N2(-k|0) | |
| T(-1,5|1,69) (global) | T(-3k/4|-27k4/256) (global) | |
| W(-1|-1) | W(-k/2|-k4/16) | |
| keine Symmetrie feststellbar | achsensymmetrisch zur y-Achse | |
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Ortslinie
Eine Ortslinie ist eine Linie, die z.B. alle Tiefpunkte einer Funktionenschar verbindet.
Um eine Orstlinie zu bestimmen, also eine Linie, die z.B. alle Hochpunkte einer Schar verbindet, müssen zuerst die allgemeinen Koordinaten der Punkte bestimmt werden, deren Orstlinie man sucht.
Beispiel: , b > 0
Extremstellen: ,
Alle Kurven der Schar haben ein Maximum bei x = 2b (die Lage hängt also vom Scharparameter ab).
y-Koordinate bestimmen (berechnete x-Koordinate in den Funktionsterm einsetzen):
, für die Hochpunkte ergeben sich also die Koordinaten
Orstlinie: Dazu den Term der x-Koordinate zum Parameter umformen, den erhaltenen Ausdruck in den Term der y-Koordinate einsetzen.
Die Gerade y = x + 2 ist also Ortslinie der Hochpunkte der gegebenen Schar.
Zur Übung: , t > 0
Bestimme die Ortslinie der Hochpunkte und die Ortslinie der Tiefpunkte.