Logik und Schaltnetze

Zum Thema gehören die folgenden Punkte:

Umwandlung Binärzählen ↔ Dezimalzahlen
Addition von Binärzahlen
Logische Aussagen überprüfen
Wahrheitswertetafeln aufstellen
Schaltnetze analysieren
Umwandlung der verschiedenen Sichten ineineinander: Boolescher Term, Wahrheitswertetafel (= Schalttabelle), Schaltnetz
Modellierung (Term/Tabelle/Schaltnetz aus Textaufgabe)
Begriffe Codierer, Decodierer, Halbaddierer, Volladdierer erklären können

Einstieg in die Logik

Logik ist eine Teildisziplin sowohl der Philosophie als auch der Mathematik - die heutige formale Logik, die in ihren Ursprüngen auch auf Kant zurückgeht, wird eher der Mathematik zugerechnet.

Während in der Mathematik eher deduktiv gearbeitet wird (also aus vorhandenem Wissen neues abgeleitet wird), verfolgen die Naturwissenschaften eher den induktiven Ansatz (aus der Beobachtung wir ein neues Modell entwickelt, dass dann möglichst durch Experimente bestätigt wird).

Aussagenlogik

Eine Aussage ist - wenn einem denn die verwendeten Begriffe bekannt sind - direkt auf ihren Wahrheitsgehalt überprüfbar. Eine Aussageform enthält Variablen, ihr Wahrheitsgehalt hängt also vom eingesetzten Wert ab. Mathematische Gleichungen mit Variablen sind Aussageformen, die Lösungsmenge enthält dann alle Werte, mit denen sich eine wahre Aussage ergibt.

Will man aus gegebenen Aussagen auf neue schließen, muss man Schlüsselwort wie „Alle“, „Jede(r)“, „Immer“ oder „Einige“, „Manche“ beachten (Quantoren).

Sprachlich formulierte Aussagen sind in vielen Fällen interpretierbar, also nicht eindeutig. George Boole veröffentlichte 1847 eine Symbolik, mit der logische Aussagen und Schlüsse in Termform dargestellt werden können.

Die drei Grundfunktionen sind die Negation (NOT oder NICHT), die Konjunktion (AND oder UND) und die Disjunktion (OR oder ODER).

Also Symbole (Junktoren) für diese Funktionen werden ¬ a für NICHT a, $a \wedge b$ für a UND b und V für a ODER b verwendet.

In der Mengenlehre entsprechen diese Funktionen dem Komplement ( $\overline{A}$ , also NICHT in A enthalten), der Schnittmenge ( $A \inter B$ , also sowohl in A als auch in B enthalten) sowie der Vereinigungsmenge ( $A \union B$ , also in A, B oder beiden Mengen enthalten).

Anstatt des Junktors ¬ wird zur Verkürzung der Ausdrücke auch die Komplementschreibweise verwendet, also $\overline{a}$ anstatt ¬ oder $\overline{a \wedge b}$ anstatt ¬ ( $a \wedge b$ ).