====== Regelheft Funktionsuntersuchung ====== Hier ist ein Überblick über die Kernthemen der Funktionsuntersuchung entstanden. ===== Ganzrationale Funktionen ===== === Definition === Eine Funktion f, deren Funktionsterm f(x) als Polynom (alles hinter dem Gleichheitszeichen) geschrieben werden kann, nennt man **ganzrationale Funktion**. Der höchste Grad n des Polynoms heißt auch Grad der ganzrationalen Funktion. f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀ === Was ist zu tun? === Ein Funktionsterm muss in die Normalform gebracht werden, alle Klammern müssen ausmultipliziert werden. === Beispiel === f(x) = 7 x⁴ - sqrt{5} x + 1 Koeffizienten a₄ = 7, a₃ = a₂ = 0 = nicht vorhanden, a₁ = sqrt{5}, a₀ = 1 Funktion 4. Grades === Derive === Funktion definieren: f(x) := .... ===== Definitionsbereich ===== === Definition === Bei ganzrationalen Funktionen immer bbR, außer die Aufgabenstellung selbst beschränkt den Definitionsbereich. === Was ist zu tun? === Überprüfen, ob es Zahlen gibt, die beim Einsetzen in den Funktionsterm zu unerlaubten Werten führen. Bei ganzrationalen Funktionen sind vom Funktionsterm her keine Werte ausgeschlossen, bei Wurzel-((Diskriminante > 0)) oder Bruchtermen((Nenner <> 0)) kommt das jedoch vor. === Beispiel === f(d) = 100d^2 Der Definitionsbereich dieser Funktion ist bbR, d.h. für alle d in bbR erhält man für f(d) einen zulässigen Wert. Betrachtet man diese Funktion jedoch in einem Sachzusammenhang - z.B. sei durch f(d) die Faserlänge eines Glasfadens in Abhängigkeit von der Ausgangsdicke d eines Glasfadens gegeben - so wäre der Definitionsbereich der Funktion nur bbR ^+, da negative Längen eines Glasstabes nicht sinnvoll sind. === Derive === Keine direkten Berechnungsmöglichkeiten vorhanden - der Graph der Funktion könnte jedoch helfen. ===== Verhalten im Unendlichen ===== === Definition === Mit dem Varhalten im Unendlichen ist gemeint, in welche "Richtungen" eines Koordinatensystems ein Graph einer (Ganzrationalen) Funktion strebt. Der höchste Grad kann als Annäherung genommen werden, da sie von dem richtigen Funktionsterm kaum abweichen. Ist **n ungerade**, so folgt für f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀: Für **a_n > 0**: wenn x -> + infty dann strebt f(x) -> + infty wenn x -> - infty dann strebt f(x) -> - infty Für **a_n < 0**: wenn x -> + infty dann strebt f(x) -> - infty wenn x -> - infty dann strebt f(x) -> + infty Ist **n gerade**, so folgt für f(x) = a_nxⁿ + a_n-1x^n-1 +a_n-1x^n-1 + ... + a₁x + a₀: Für **a_n > 0**: wenn x -> + infty dann strebt f(x) -> + infty wenn x -> - infty dann strebt f(x) -> + infty Für **a_n < 0**: wenn x -> + infty dann strebt f(x) -> - infty wenn x -> - infty dann strebt f(x) -> - infty === Was ist zu tun? === Zuerst muss man überprüfen, ob n ungerade oder gerade ist, dann ob a größer oder kleiner 0 ist. Anschließend kann man das Verhalten im Unendlichen aus dem Graph ablesen oder die obige Tabelle auswendig lernen ;-) === Beispiel === f(x) = 7 x⁴ - sqrt{5} x + 1 Annäherung an: f(x) = 7 x⁴ n ist gerade, a ist größer als 0, es handelt sich also in der Annäherung um eine gestreckte Parabel 4. Grades. Für das Verhalten im Unendlichen gilt also: x -> + infty strebt an f(x) -> + infty x -> - infty strebt an f(x) -> + infty === Derive === f(infty) =~~~ **eigentlich** lim{x right infty} f(x) = f(inf) = oder (besser!) lim(f(x), x, inf) = ===== Symmetrie ===== === Definition === Der Graph einer ganzrationalen Funktion ist genau dann achsensymmetrisch //zur y-Achse//, wenn deren Funktionsgleichung nur gerade Exponenten enthält. Bei ungeraden Exponenten ist der Graph punktsymmetrisch //zum Ursprung//. Wenn die Funktion gerade **und** ungerade Exponenten enthält, so ist sie weder gerade( bzw. achsensymmetrisch //zur y-Achse//) noch ungerade( bzw. punktsymmetrisch //zum Ursprung//)! === Was ist zu tun? === Mit Derive ist es möglich zu erkennen ob eine Funktion gerade oder ungerade ist. Dazu muss man die gegebene Funktion definieren und anschließend die beiden Gleichungen angeben(bei "Derive" zu finden). Danach gibt das Programm das jeweilige Ergebnis zurück. === Beispiel === Hier kommen die drei möglichen Lösungen: 1. Lösung: f(x) = f(-x) //true// -f(x) = f(-x) //false// => Der Graph ist achsensymmetrisch //zur y-Achse// 2. Lösung: f(x) = f(-x) //false// -f(x) = f(-x) //true// => Punktsymmetrisch //zum Ursprung// 3. Lösung: f(x) = f(-x) //false// -f(x) = f(-x) //false// => Weder noch, da beide Symmetrien nicht vorhanden sind. Auch wenn //einzelne// Werte ausgegeben werden (und nicht "false") ist die Symmetrie nicht gegeben. === Derive === Lösen: f(x) = f(-x) f(-x) = -f(-x) ===== Nullstellen ===== === Definition === Eine Zahl n der Definitionsmenge D einer Funktion heißt Nullstelle von f, wenn f(n)~=~0 gilt. Also f(n) ~=~ 0 mit n ~in~ D <=> ~~n ist Nullstelle von f, d.h. der Graph von f schneidet die x-Achse im Punkt N(n|0). Ist ~f eine Polynomfunktion, so kann man die Funktion mit den Nullstellen n_i des Polynoms als Produkt ihrer Linearfaktoren (x-n_i) notieren: f(x) ~=~ a_k x^k + a_{k-1} x^{k-1} + cdots + a_1 x + a_0 ~=~ (x-n_1)(x-n_2)(x-n_3) cdots === Was ist zu tun? === - gegebene Nullstelle überprüfen: Wenn f(n) = 0 wahr ist, so ist n eine Nullstelle. - Nullstellen für eine Funktion in Produktform, f(x) = r(x)s(x)bestimmen: "Produkt ist null, wenn einer der Faktoren null ist", also die Teilausdrücke r(n) = 0 und s(n) = 0 (...) lösen. - Funktionen der Form f(x) = axⁿ + bx^k (mit n > k) lassen sich durch ausklammern in Produktform bringen: f(x) = x^k (ax^n-k + b). In diesen Fällen ist x=0 eine der Nullstellen, weitere Nullstellen ergeben sich aus den Lösungen der Gleichung ax^n-k + b = 0. - Quadratische Funktion f(x) ~=~ a x^2 ~+~ b x ~+~ c ~=~ a ( x^2 ~+~ b/a x ~+~ c/a) lässt sich nach Umformen in die Normalform mit Hilfe der pq-Formel lösen. - Substitution: Handelt es sich beim Funktionsterm um ein Polynom der Form ax^{2k} + bx^{k} + c, so lässt sich durch die Substitution z = x^k das Polynom auf den quadratischen Term az^2 + bz + c zurückführen. Die Lösungen für z lassen sich dann wie bei "normalen" quadratischen Funktionen bestimmen. Abschließend muss dann aber aus z noch durch x^k ~=~ z die Lösungen für x bestimmt werden. - [[ma:polynomdiv|Polynomdivision]]: Handelt es sich beim Funktionsterm um ein Polynom mit einem Grad größer als zwei, so muss zunächst durch Ausprobieren eine (ganzzahlige) Nullstelle gefunden werden. Durch Division des Polynoms mit dem Term (x - Nullstelle) lässt sich dann der Grad schrittweise auf 2 reduzieren, die restlichen Nullstellen lassen sich dann wie bei einer quadratischen Funktion bestimmmen. Eine Funktion n-ten Grades kann höchstens n Nullstellen haben.\\ Ist n ungerade, so existiert mindestens eine Nullstelle. === Beispiel === f(x)=x^2~-~16 Die x-Werte 4 und -4 sind Nullstellen der Funktion f, denn f(4)=4²−16=0 und f(−4)=(−4)²−16=0. f(x) ~=~ x^6 ~-~ 19x^3 ~-~ 216 ~{~=~~}over{~(z~=~x^3)}~ z^2 ~-~ 19z ~-~ 216 f(z) ~=~ 0 ~~~ doubleright ~~~ z ~=~ 27 ~~vert~~ z ~=~ -8 doubleright ~~~ x ~=~ 3 ~~vert~~ x ~=~ -2 f(x) ~=~ x^4 ~-~ 5x^2 ~-~ 36 ~{~=~~}over{~(z~=~x^2)}~ z^2 ~-~ 5z ~-~ 36 f(z) ~=~ 0 ~~~ doubleright ~~~ z ~=~ 9 ~~vert~~ z ~=~ -4 doubleright ~~~ x ~=~ 3 ~~vert~~ x ~=~ -3, Resubstitution von z ~=~ -4 führt mit x^2 ~=~ -4 zu keiner weiteren Lösung. === Derive === Lösen: f(x) = 0 ===== Extremstellen ===== === Definition === Eine Zahl m der Definitionsmenge D einer Funktion heißt Extremstelle von f, wenn f prime (m)~=~0 und f prime prime (m) ~<>~ 0 gilt. Gilt f prime prime (m) ~>~ 0 so handelt es sich um ein **Minimum** (Tiefpunkt), gilt f prime prime (m) ~<~ 0 so handelt es sich um ein **Maximum** (Hochpunkt). Wäre f prime prime (m) ~=~ 0 so müsste man die höheren Ableitungen noch überprüfen, wenn eine an der Stelle x = m den Wert 0 annimmt, so handelt es sich um einen **Sattelpunkt** (auch: Terassenpunkt, Wendepunkt mit Steigung 0). Ein Minimum / Maximum ist global, wenn es für den gesamten Definitionsbereich den kleinsten / größten Wert annimmt, sonst sind die Extremstellen sogenannte //lokale// Extremstellen. //Globale Minima// oder //Maxima// können jedoch für den Fall, dass der **Definitionsbereich beschränkt** wurde, auch die **Randwerte** der Funktion sein. === Was ist zu tun? === Zur Bestimmung der Extremstellen muss man also die Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen (notwendige Bedingung). Da diese wieder eine Funktion ist (im Grad um eins kleiner als die Ausgangsfunktion), geht man wie bei der Bestimmung von Nullstellen vor. Nur muss man anschließend mit der 2. Ableitung die hinreichende Bedingung noch überprüfen. === Beispiel === f(x) = x²-16 ~doubleright~ f '(x) = 2x ~doubleright~ f ''(x) = 2 Man sieht sofort: Aus f '(x) = 0 folgt x = 0, die zweite Ableitung ist für alle x der Definitionsmenge ungleich 0, also handelt es sich beim Punkt E(0|-16) um eine Extremstelle. Da f ''(x) > 0 für x = 0 gilt, handelt es sich um ein Minimum. Der Punkt E ist also ein Tiefpunkt der Funktion f. Aus dem Graphen der Funktion wäre sofort ersichtlich, dass es sich hier um ein //globales Minimum// handelt. === Derive === Lösen: f'(x) = 0 oder DIF(f(x), x, 1) = 0 Einsetzen: f''([Extremstelle)] = Global/lokal überprüfen: Lösen: f([Minimum]) <= f(x) bzw. f([Maximum]) >= f(x) Wenn hier das Ergebnis "true" lautet, dann handelt es sich um eine globale Extremstelle. Bei beschränktem Definitionsbereich muss man noch mit f([Randstelle]) = die Randwerte berechnen und mit den Extremwerten vergleichen. ===== Wendestellen ===== === Definition === Eine Zahl w der Definitionsmenge D einer Funktion heißt Wendestelle von f, wenn f prime prime (w)~=~0 gilt und für eine höhere Ableitung an der Stelle w der Wert ungleich Null ist (z.B. f prime prime prime (w) ~<>~ 0). === Was ist zu tun? === Zur Bestimmung der Wendestellen muss man also die Nullstellen der zweiten Ableitung bestimmen. Da diese wieder eine Funktion ist (im Grad um zwei kleiner als die Ausgangsfunktion), geht man wie bei der Bestimmung von Nullstellen vor. Nur muss man anschließend mit der 3. (oder einer höheren) Ableitung noch die Existenz überprüfen. === Beispiel === f(x) ~=~ x^4 ~-~ 2x^3 ~doubleright~ f prime prime (x) ~=~ 12x^2 -12x ~doubleright~ f prime prime prime (x) ~=~ 24x - 12 f prime prime (x) ~=~ 0 ~doubleleftright~ x ~=~ 0 ~vert~ x ~=~ 1 f prime prime prime (0) ~=~ -12 bzw. f prime prime prime (1) ~=~ 12 An den Stellen x = 0 und x = 1 liegt hier also eine Wende//stelle// vor, die Wende//punkte// sind demnach W₁(0|0) und W₂(1|-1). === Derive === Lösen: f''(x) = 0 oder DIF(f(x), x, 2) = 0 Überprüfen durch Einsetzen: f'''([Wendestelle)] = //teilweise Schülerbeitrag// {{tag>Funktionsuntersuchung Derive mathpublisher}}