====== Differenzenquotient / Änderungsrate ======

Um Zwischenwerte zu vorgegebenen Intervallgrenzen zu berechnen, wird aus den Intervallgrenzen und den zugehörigen Funktionswerten zunächst der Differenzenquotient aufgestellt:

Intervall: I [a, b]

Differenzenquotient (Steigung der Näherungsgerade): <m>m~=~ {f(b) - f(a)}/{b - a} ~=~ {f(a)-f(b)}/{a-b}</m>

Näherungsgerade in Punkt-Steigungs-Form: <m>{y - f(a)}/{x - a}~=~ m</m> oder <m>{y - f(b)}/{x-b}~=~m</m>

Für die Geradengleichung g(x) = y muss dann die Punkt-Steigungsform noch nach y aufgelöst werden.

===== Differenzenquotient in zwei Varianten =====

Momentane Änderungsraten lassen sich bestimmen, in dem man sich dem gesuchten Punkt von oben und unten annähert - oder man vereinfacht den Term des Differenzenquotienten so, dass beim Streben von x gegen x<sub>0</sub> kein unerlaubter Ausdruck mehr entsteht, und rechnet damit den Wert der momentanen Änderung an der gegebenen Stelle x<sub>0</sub> aus.

Mit <m>x - x_0 ~=~ h</m> gilt auch <m>{f(x) - f(x_0)}/{x - x_0} ~=~ {f(x_0 + h) - f(x_0)}/h</m>

Der zweite Term des Differenzenquotienten mit <m>h</m> lässt sich häufig leichter vereinfachen, wählt man die erste Form, muss meistens im Lauf der Vereinfachung die dritte binomische Formel angewendet werden.


{{tag>mathpublisher}}