====== Funktionen und Funktionsgraphen ======

Eine Funktion ist eine Zuordnung, die **jeder** möglichen //Ausgangsgröße// **genau eine** //zugeordnete Größe// zuordnet.

Wir nennen die Ausgangsgröße üblicherweise **x** und die zugeordnete Größe **y**.

Alle Zahlen, die für x gewählt werden können, bilden zusammen den //Definitionsbereich// einer Funktion.

Alle Zahlen, die für y möglich sind, bilden zusammen den //Wertebereich// der Funktion.

===== Darstellung =====

Funktionen können als

  * Diagramm
  * Tabelle
  * Term
  * oder Text (Wortvorschrift) 

dargestellt werden.

==== 1. Beispiel ====

**Text:** Die Versandkosten betragen einmalig 3,90 € und für jeden weiteren Artikel 1 € zusätzlich.

**Term:** <m>y = 3,9 + x</m>

Hier steht y für die Versandkosten insgesamt und x für die Anzahl der zusätzlichen Artikel.

**Tabelle:** (aus Platzgründen in Zeilenform)

^x|0|1|2|3|4|5|6|7|
^y = 3,9 + x|3,9|4,9|5,9|6,9|7,9|8,9|9,9|10,9| 

**Diagramm:** Da die Ausgangsgröße x für "Anzahl zusätzlicher Artikel" steht, und die nur ganzzahlig sein können, dürfen in diesem Fall die Punkte nicht verbunden werden.

{{.:diagramm1.jpg?nolink|Diagramm 1}}

==== 2. Beispiel ====

**Text:** Auf einem Sparbuch werden 42 € zusammen mit den anfallenden Zinsen mit 1% verzinst.

**Term:** <m>y = 42~*~1,01^x</m>

Hier steht y für den Endbetrag und x für die Jahre, die das Geld auf dem Sparbuch liegt.

**Tabelle:**

^x|0|1|2|3|4|5|50|
^y|42|42,42|42,84|43,27|43,71|44,14|69,07|

**Diagramm:**

{{.:diagramm2.jpg?nolink|Diagramm 2}}

===== Begriffe =====

Funktionen haben einen **Funktionsnamen**, z.B. <m>f</m>, eine **Funktionsvariable**, (normalerweise) <m>x</m> und einen **Funktionswert**, (normalerweise) <m>y</m>.

Man schreibt: <m>~~~~~~f(x) = y</m>

Und sagt: //f von x ist gleich y//, oder //f hat an der Stelle x den Wert y//

==== Beispiel ====

f( 1 ) = 0 beschreibt den Punkt mit den Koordinaten (1|0)

f( 8 ) = 3 beschreibt den Punkt mit den Koordinaten (8|3)

===== Besondere Funktionen und ihre Graphen =====

==== Lineare Funktionen - Geraden ====

Man nennt den Graph einer linearen Funktion //Gerade//. 

Jede Lineare Funktion hat einen Funktionsterm der folgenden Form (mit f(x) = y):

<m>  y = m x + b   </m>

Der Faktor **m** gibt an, wie steil die Gerade ist. Man nennt diesen Faktor daher **Steigung**.

Der Summand **b** gibt an, wo die Gerade die y-Achse schneidet, da f(0) = b gilt. Man nennt diesen Summanden daher **Achsenabschnitt**.

**x** und **y** sind die Koordinaten der Punkte der Gerade. 

Lineare Funktionen mit //identischem Achsenabschnitt// haben den Punkt (0|b) gemeinsam - die Geraden schneiden sich also in diesem Punkt.

Lineare Funktionen mit //identischer Steigung// verlaufen Parallel.

Eine Gerade mit der Steigung **m = 0** verläuft parallel zur x-Achse und hat dann z.B. einen Funktionsterm wie //y = 4//.

Eine Gerade, die parallel zur y-Achse verläuft, stellt **keine Funktion** dar, da hier einem x-Wert beliebig viele y-Werte zugeordnet werden. Aber auch solch eine Gerade kann mit einem Term beschrieben werden. So hat z.B. eine Parallele zur y-Achse, die die x-Achse an der Stelle x = 3 schneidet, den Term //x = 3//.

{{  .:geraden.jpg?nolink  |verschiedene Geraden}}

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