====== Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung ======

Eine **Zufallsgröße** ist ein quantitatives Merkmal, das ein Ereignis eines Zufallsexperiments beschreibt. Üblicherweise wird die Zufallsgröße mit **X** angegeben, die Zufallsgröße eines bestimmten Ereignisses hat dann den **Wert X=a**, die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses wird dann mit $P(X=a)$ angegeben.

Eine **Wahrscheinlichkeitsverteilung** ist nichts anderes als eine **Tabelle**, in der die Werte der Zufallsgrößen den Werten der Wahrscheinlichkeiten der jeweiligen Zufallsgrößen zugeordnet werden, der Kopf der Tabelle sähe dann so aus: 

^X=a ^ P(X=a)^
|  $\vdots$  |  $\vdots$  |

Die Wahrscheinlichkeiten können in der Verteilung auch **kumuliert** angegeben werden, dann werden alle Werte bis zum angegebenen Wert addiert, also $P(X \le a)$. Die Zufallsgröße des Ereignisses hat also //höchstens// den Wert X=a.

Eine Verteilung kann anschaulich als **Histogramm** dargestellt werden, also als Säulendiagramm, bei dem X=a die Kategorien angibt (die in der Mitte der Säulen stehen) und die Höhe der Säulen durch P(X=a) bestimmt wird (oder relative oder absolute Häufigkeiten).

===== Beispiel =====

Zufallsexperiment: Würfeln mit zwei Würfeln

Ereignis: Maximum der Augenzahlen

Mögliche Werte der Zufallsgröße X: 1, 2, 3, 4, 5, 6

Zu den Zufallsgrößen gehörende Ergebnismengen:((Solche Aufgabenstellungen greifen normalerweise einen bestimmten Wert der Zufallsgröße heraus, für den die Ergebnismenge zu bestimmen ist.))

^X=a^Ergebnismenge|
|X=1|{(1,1)}|
|X=2|{(1,2), (2,1), (2,2)}|
|X=3|{(1,3), (3,1), (2,3), (3,2), (3,3)}|
|X=4|{(1,4), (4,1), (2,4), (4,2), (3,4), (4,3), (4,4)}|
|X=5|{(1,5), (5,1), (2,5), (5,2), (3,5), (5,3), (4,5), (5,4), (5,5)}|
|X=6|{(1,6), (6,1), (2,6), (6,2), (3,6), (6,3), (4,6), (6,4), (5,6), (6,5), (6,6)}|

Wahrscheinlichkeitsverteilung (die Tabelle kann natürlich auch senkrecht angeordnet werden):

^X=a|X=1|X=2|X=3|X=4|X=5|X=6|
^$P(X=a)$|$\frac{1}{36}$|$\frac{3}{36}$|$\frac{5}{36}$|$\frac{7}{36}$|$\frac{9}{36}$|$\frac{11}{36}$|

Die Summe der in der Verteilung angegebenen Wahrscheinlichkeiten muss 1 ergeben - wenn nicht, hat man irgendetwas übersehen.

Kumulierte Wahrscheinlichkeitsverteilung:

^X=a|X=1|X=2|X=3|X=4|X=5|X=6|
^$P(X \le a)$|$\frac{1}{36}$|$\frac{4}{36}$|$\frac{9}{36}$|$\frac{16}{36}$|$\frac{25}{36}$|$\frac{36}{36} = 1$|

Hier muss im letzten Feld die Wahrscheinlichkeit 1 sein, da zum Ereignis $X \le 6$ alle Ergebnisse des Zufallsversuch gehören.


Histogramm (für P(X=a)):

<code>
      |            _
      |           | |
      |          _| |
      |         | | |
      |        _| | |
      |       | | | |
      |      _| | | |
      |     | | | | |
      |    _| | | | |
      |   | | | | | |
1/36 _|  _| | | | | |
     _|_|_|_|_|_|_|_|__
         1 2 3 4 5 6
</code>

Mit Excel bearbeite sähen die Wahrscheinlichkeitsverteilung und das Histogramm (Säulendiagramm) so aus:



{{  .:maximumwuerfeln.jpg?nolink  |Bildschirmansicht Excel}}

{{tag>Excel LaTeX}}