====== Polynomdivision ======

Die Methode der Polynomdivision ist ein Verfahren, bei dem der Grad eines Polynoms schrittweise reduziert werden kann, indem man analog der schriftlichen Division ein Polynom durch einen Term der Form (Variable - Nullstelle) teilt.

Angewendet wird die Polynomdivision vor allem bei der Bestimmung der Nullstellen von Polynomen mit einem Grad größer als 2 ((Nullstellen der Polynome mit Grad 1 lassen sich direkt ausrechnen, Nullstellen der Polynome mit Grad 2 erhält man leicht über die pq-Formel)).

===== zur Erinnerung: schriftliche Division =====

Die Aufgabe 1452 : 11 soll schriftlich gelöst werden. Dabei wird schrittweise von links nach rechts jede Stelle des Dividenden bearbeitet.

<code>
  1 4 5 2 : 11 = 1 3 2      
- 1 1                       denn 14:11 = 1 (Rest 3) und 11*1 = 11
  ---
    3 5
  - 3 3                     denn 35:11 = 3 (Rest 2) und 11*3 = 33
    ---
      2 2
    - 2 2                   denn 22:11 = 2 (Rest 0) und 11*2 = 22
      ---
        0
</code>

Die Zahl 1452 lässt sich im Stellenwertsystem auch als Summe von Zehnerpotenzen schreiben:

<m>1452 ~=~ 1~*~~10^3~+~4~*~10^2~+~5~*~10^1~+~2~*~10^0</m>\\
<m>~~~~~~=~1~*~1000~+~4~*~100~+~5~*~10~~+~2</m>

und der Divisor 11 lässt sich auch als Summe <m>(10 + 1)</m> schreiben.

Dann könnte man die Division auch so notieren (der Dividend wird summandenweise durch den ersten Summanden des Divisors geteilt):

<code>
  (1000 + 4*100 + 5*10 + 2) : (10 + 1) = 100 + 3*10 +2
-( 1000 + 1*100 )                        denn 1000 : 10 = 100 und 100 * (10 + 1) = 1000 + 100
   ------------
          3*100 + 5*10
       -( 3*100 + 3*10 )                 denn 3*100 : 10 = 3*10 und 3*10 * (10 + 1) = 3*100 + 3*10
          ------------
                  2*10 + 2                        
               -( 2*10 + 2 )             denn 2*10 : 10 = 2 und 2 * (10 + 1) = 2*10 + 2
                  --------
                         0
</code>

Dieses Verfahren führt (wenn auch etwas umständlicher) zum selben Ergebnis der Division, nämlich 132 = 100 + 30 + 2.

Wenn man jetzt die 10 des Stellenwertsystems durch eine beliebige Basis x ersetzt, hat man das Verfahren der Polynomdivision.

===== Beispiel einer Polynomdivision =====

Durch Einsetzen kleiner ganzer Zahlen lässt sich schnell ermitteln, dass die Funktion <m>f(x)~=~x^3~ +~ 4x^2 ~+~ 5x ~+~ 2</m> bei <m>x = -1</m> eine Nullstelle hat. Um den Grad des Polynoms von 3 auf 2 zu reduzieren, dividiert man also durch den Term <m>(x -(-1)) ~=~ (x + 1)</m>. Hier gilt wie im Beispiel mit den 10er-Potenzen, dass das Polynom summandenweise durch den ersten Summanden des Divisors, hier also <m>x</m> dividiert wird.
<code>
   (x^3 + 4x^2 + 5x + 2) : (x+1) = x^2 + 3x + 2
- ( x^3 +  x^2 )                   denn x^3 : x = x^2 und x^2 * (x+1) = x^3 + x^2
    ----------
          3x^2 + 5x   
       -( 3x^2 + 3x )              denn 3x^2 : x = 3x und 3x * (x+1) = 3x^2 + 3x              
          ---------
                 2x + 2
             - ( 2x + 2)           denn 2x : x = 2 und 2 * (x+1) = 2x + 2
                 ------
                      0
</code>


===== Anwendung des Ergebnisses =====


Das gegebene Polynom lässt sich also als Produkt zweier Polynome mit geringerem Grad schreiben:

<m>x^3 ~+~  4x^2 ~+~ 5x ~+~ 2 ~=~ (x ~+~ 1)(x^2 ~+~ 3x ~+~ 2)</m>

Da der Wert eines Produkts Null ist, wenn einer der Faktoren den Wert Null hat, ergeben sich die Nullstellen des Polynoms also aus den Faktoren:

<m>~~~~~~~x^3 ~+~  4x^2 ~+~ 5x ~+~ 2 ~=~ 0</m>

<m>doubleleftright ~~~(x ~+~ 1)(x^2 ~+~ 3x ~+~ 2) ~=~ 0</m>

<m>doubleleftright ~~~~x ~+~ 1 ~=~ 0 ~~~vert~~~ x^2 ~+~ 3x ~+~ 2 ~=~ 0</m>

<m>doubleleftright ~~~~~~~~x ~=~ -1 ~~~vert~~~ x ~=~ -1,5 ~+~ sqrt{2,25 - 2} ~~~vert~~~ x ~=~ -1,5 ~-~ sqrt{2,25 -2}</m>

<m>doubleleftright ~~~~~~~~x ~=~ -1 ~~~vert~~~ x ~=~ -1  ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~vert~~~ x ~=~ -2</m>


In diesem Fall schneidet also der Graph der Funktion 

<m>f(x) ~=~ x^3 ~+~  4x^2 ~+~ 5x ~+~ 2 ~=~ (x~+~1)(x~+~1)(x~+~2)</m> 

die x-Achse an den Stellen <m>x ~=~ -1</m> und <m>x ~=~ -2</m>. 

Da -1 rechnerisch //zweimal// ermittelt wird, spricht man hier auch von einer //doppelten// Nullstelle.

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