====== Parabel und quadratische Gleichung ======

Den Funktionsgraph einer quadratischen Funktion nennt man Parabel. Die Parabel hat, je nach Öffnungsrichtung, einen Hoch- oder einen Tiefpunkt, den Scheitelpunkt. Der Graph ist achsensymmetrisch zu einer Spiegelachse, die senkrecht zur x-Achse durch den Scheitelpunkt verläuft.

Die **Normalparabel** hat die Funktionsgleichung <m>f(x) = x^2</m>, sie ist nach oben geöffnet, ihr Scheitelpunkt hat die Koordinaten S(0|0) und die Funktionswerte der ganzzahligen x-Werte sind die Quadratzahlen.

===== Funktionsgleichungen =====

Die **allgemeine Form** der Funktionsgleichung der quadratischen Funktion ist <m>f(x) = ax^2 + bx + c</m>.

Die **Scheitelpunktsform** <m>f(x) = a(x-d)^2+e</m> für die Scheitelpunktskoordinaten S(d|e) lässt sich in die allgemeine Form umwandeln, indem die Klammer aufgelöst wird:

<m>f(x) = a(x-d)^2 + e</m>

<m>~~~~ = a(x^2-2dx+d^2) + e</m>

<m>~~~~ = ax^2 - 2adx + ad^2 + e</m>

<m>~~~~ = ax^2 + (-2ad)x + (ad^2 + e)</m>

Damit gilt <m>b = -2ad</m> und <m>c = ad^2 + e</m>.

===== Bedeutung der Parameter a und c =====

Am Parameter a der quadratischen Funktion, dem **Formfaktor**, lässt sich ablesen, wie die Parabel im Koordinatensystem liegt:

  * Ist a < 0, also negativ, ist der Graph nach unten geöffnet, für a > 0 nach oben.
  * Für a = 1 erhält man die Form einer Normalparabel (für a = -1 ist die dann nach unten geöffnet).
  * Gilt -1 < a < 0 oder 0 < a < 1, so ist die Parabel gestaucht, die Parabeläste verlaufen also unterhalb einer Normalparabel mit demselben Scheitelpunkt.
  * Gilt a < -1 oder a > 1, so ist die Parabel gestreckt, die Parabeläste liegen also über den Ästen einer Normalparabel mit demselben Scheitelpunkt.

Am Parameter c lässt sich ablesen, ob der Ursprung O(0|0) ein Punkt der Parabel ist: Das ist immer dann der Fall, wenn c = 0 gilt. 

  * Für den Sonderfall b = c = 0 liegt der Scheitelpunkt der Parabel im Ursprung. 
  * Wenn sich zwei Funktionsgleichungen nur im Wert von c unterscheiden, dann haben die Parabeln die gleiche Form, sind aber um den Wert der Differenz c<sub>1</sub> - c<sub>2</sub> entlang der y-Achse verschoben.


===== Nullstellen =====

Unter den Nullstellen einer Funktion versteht man die Schnittpunkte des Funktionsgraphen mit der x-Achse. In diesen Punkten hat die y-Koordinate den Wert Null.

Eine Gerade hat immer genau eine Nullstelle, eine quadratische Funktion kann eine, zwei oder gar keine Nullstelle haben.

==== Berechnung ====

Da die y-Koordinate den Wert 0 haben muss, löst man zur Berechnung die Gleichung f(x) = 0 und ermittelt darüber die jeweilige x-Koordinate.

Für eine quadratische Funktion muss also die quadratische Gleichung <m>ax^2 + bx + c = 0</m> gelöst werden.

Neben der Methode der quadratischen Ergänzung und einer der sogenannten ab-Formel, die direkt mit den Werten dieser Gleichung arbeitet, ist die Lösung mit Hilfe der pq-Formel in der Regel die geläufigste.

=== pq-Formel ===

Dazu muss zunächst der Term der quadratischen Gleichung in die Normalform <m>x^2 + px + q = 0</m> umgewandelt werden, d.h. vor <m>x^2</m> darf kein Faktor mehr sein (auch nicht "-", da <m>-x^2 ~=~ (-1)~*~x^2</m> gilt).

<m>~~~~ax^2 + bx + c = 0</m>

<m>doubleleftright ~ x^2 + b/a x + c/a = 0</m>

Damit gilt also <m>p = b/a</m> und <m>q = c/a</m>.

Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung werden dann mit der pq-Formel berechnet:

<m>x_{1,2} = - p/2 pm sqrt{(p/2)^2 -q}</m>

<sub>Zum Merken: "x eins zwei ist gleich minus p halbe plusminus der Wurzel von dem, was vor der Wurzel steht, zum Quadrat, minus q" - die Formel steht aber auch in der Formelsammlung.</sub>

== Anzahl der Lösungen ==

Am unter der Wurzel stehenden Ausdruck <m>D = (p/2)^2 -q</m> erkennt man, wie viele Lösungen diese Gleichung, d.h. wie viele Nullstellen die quadratische Funktion hat:

  * D = 0: nur eine Lösung, <m>x = - p/2</m>
  * D < 0: keine Lösung, da man aus negativen Zahlen keine Wurzel ziehen kann
  * D > 0: zwei Lösungen, die durch die Formel angegeben werden.


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