====== Mit Wurzeln umgehen ======

//Die Wurzel aus einer Zahl ist die Zahl, die, mit sich selbst multipliziert, wieder die ursprüngliche Zahl ergibt.//

**Beispiele:**

<m>sqrt{9} ~=~ 3 ~</m> denn <m>~3 ~*~ 3 ~=~9~~~~~</m> <m>sqrt{2,25} ~=~ 1,5 ~</m> denn <m>~1,5 ~*~ 1,5 ~=~2,25</m> 

<m>sqrt{49/169} ~=~ 7/13 ~</m> denn <m>~7/13 ~*~ 7/13 ~=~49/169~~~~~</m>
<m>sqrt{a^2} ~=~ a ~~~</m> denn <m>a ~*~ a ~=~a^2</m>

Damit sollte auch klar sein, dass man **aus negativen Zahlen keine Wurzeln ziehen kann**, weil Quadratzahlen immer positiv sind.

===== Wurzeln annähern =====

Bei Quadratzahlen und Brüchen aus Quadratzahlen kann man also problemlos die Wurzeln bestimmen - bei allen anderen Zahlen kann auch der Taschenrechner nur Näherungslösungen angeben.

**Beispiele:**

<m>sqrt{2} ~approx~ 1,4142~</m> denn <m>~1,4142^2 ~=~ 1,99996164 ~<~ 2</m>

<m>sqrt{2} ~approx~ 1,414213562~</m> denn <m>~1,414213562^2 ~=~ 1,999999999 ~<~ 2</m>

Für exakte Lösungen sollte man also mit <m>sqrt{2}</m> rechnen, für in der Praxis ausreichende Näherungslösungen reichen die vier Nachkommastellen des ersten Beispiels.

===== Wurzeln genau zeichnen =====

{{  .:rettichfigur.jpg?100&direct|Zur Konstruktion einer Wurzel}}

Auch wenn man eine Strecke mit der Länge <m>sqrt{2}</m> nie genau abmessen kann ist doch möglich, so eine Strecke exakt zu zeichnen.

Wenn man annimmt, dass die Seiten des schwarzen Quadrats die Länge 1 haben, dann hat das schwarze Quadrat den Flächeninhalt 1.

Das schwarze Quadrat besteht aus 2 rechtwinkligen Dreiecken mit den Kathetenlängen 1. Das rote Quadrat, dessen Quadratseite die Diagonale im schwarzen Quadrat ist, besteht aus 4 solchen Dreiecken. Also ist der Flächeninhalt des roten Quadrates genau doppelt so groß wie der des schwarzen Quadrates - der Flächeninhalt des roten Quadrates ist also 2.

Bei einem Quadrat mit dem Flächeninhalt 2 muss die Länge der Quadratseiten dann also <m>sqrt{2}</m> sein. Damit lässt sich eine Strecke mit einer irrationalen Länge zeichnen, wie hier die Diagonale im Quadrat.

===== Wurzelterme vereinfachen =====

Hat das schwarze Quadrat die Seitenlänge <m>a</m>, so hat es den Flächeninhalt <m>a^2</m>. Das rote Quadrat hat dann den Flächeninhalt <m>2a^2</m>. Die Seitenlänge eines Quadrates mit den Flächeninhalt <m>2a^2</m> ist dann gleich <m>sqrt{2a^2} ~=~ sqrt{2} ~*~ sqrt{a^2} ~=~ a sqrt{2}</m>.

Als Regel gilt: Nur Produkte (bzw. Quotienten) lassen sich auf diese Art vereinfachen - bei Summen und Differenzen geht das nicht!

|<m>sqrt{a^2} ~=~ (sqrt{a})^2 ~=~ a</m>^ und |<m>sqrt{ab} ~=~ sqrt{a} sqrt{b}~~</m>^ und |<m>~~sqrt{a/b} ~=~ sqrt{a}/sqrt{b}</m>|

{{tag>Wurzelberechnung mathpublisher}}